iblmulc2nc - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem iblmulc2nc 33475

Description: Choice-free analogue of iblmulc2 23597. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itgmulc2nc.1
itgmulc2nc.2	$/\$
itgmulc2nc.3
itgmulc2nc.m	MblFn

**Assertion**
Ref	Expression
iblmulc2nc

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem iblmulc2nc Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2nc.m	. 2 MblFn
2		ifan 4134	. . . . . 6 $/\$
3		itgmulc2nc.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
5		itgmulc2nc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
6		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 MblFn
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 MblFn
8		itgmulc2nc.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
9	7, 8	mbfmptcl 23404	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
10	4, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
12		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	12	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
14		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . 15
15		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . 15
16		expclz 12885	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
17	14, 15, 16	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
19		expne0i 12892	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
20	14, 15, 19	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
22	11, 18, 21	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
23	22	recld 13934	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24		0re 10040	. . . . . . . . . . 11
25		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
27	26	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28		max1 12016	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	24, 23, 28	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
30		elxrge0 12281	. . . . . . . . 9 $/\$
31	27, 29, 30	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . 9
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34	31, 33	ifclda 4120	. . . . . . 7 $/\$
35	34	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36	2, 35	syl5eqel 2705	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
37		eqid 2622	. . . . 5 $/\$ $/\$
38	36, 37	fmptd 6385	. . . 4 $/\$ $/\$
39	9	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
41	40	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
42	9	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
43	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
44	43	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
45	41, 44	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
46	40	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
47	43	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
48	41, 44, 46, 47	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
49		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	45, 48, 49	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 $/\$
51		0e0icopnf 12282	. . . . . . . . . . . 12
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
53	50, 52	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
55		eqid 2622	. . . . . . . . 9
56	54, 55	fmptd 6385	. . . . . . . 8
57		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . 14
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
59		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
60	41, 46, 59	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
61	60, 52	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	44, 47, 63	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65	64, 52	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . 14
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
67		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13
68		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13
69	58, 62, 66, 67, 68	offval2 6914	. . . . . . . . . . . 12
70		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72	70, 71	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
73		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15
74	72, 73	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14
75		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16
77		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	76, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
79		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	75, 78, 79	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . 14
81	74, 80	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . 12
83	69, 82	syl6req 2673	. . . . . . . . . . 11
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
86	9	iblcn 23565	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
87	5, 86	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
88	87	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13
89	8, 5, 85, 88, 39	iblabsnclem 33473	. . . . . . . . . . . 12 MblFn $/\$
90	89	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 MblFn
91	62, 85	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11
92	89	simprd 479	. . . . . . . . . . 11
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
94	66, 93	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11
95	87	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13
96	8, 5, 93, 95, 42	iblabsnclem 33473	. . . . . . . . . . . 12 MblFn $/\$
97	96	simprd 479	. . . . . . . . . . 11
98	90, 91, 92, 94, 97	itg2addnc 33464	. . . . . . . . . 10
99	84, 98	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
100	92, 97	readdcld 10069	. . . . . . . . 9
101	99, 100	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
102	3	abscld 14175	. . . . . . . . 9
103	3	absge0d 14183	. . . . . . . . 9
104		elrege0 12278	. . . . . . . . 9 $/\$
105	102, 103, 104	sylanbrc 698	. . . . . . . 8
106	56, 101, 105	itg2mulc 23514	. . . . . . 7
107	102	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
108		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . 10
110		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10
111	58, 107, 54, 109, 110	offval2 6914	. . . . . . . . 9
112	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
113		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13
114	112, 113	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
116	102	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14
117	116	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . 13
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
119	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
121		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . 13
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123	118, 120, 122	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
124	115, 123	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10
125	124	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9
126	111, 125	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . 7
128	99	oveq2d 6666	. . . . . . 7
129	106, 127, 128	3eqtr3d 2664	. . . . . 6
130	102, 100	remulcld 10070	. . . . . 6
131	129, 130	eqeltrd 2701	. . . . 5
132	131	adantr 481	. . . 4 $/\$
133	102	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
134	133, 45	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$
135	134	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 $/\$
136	103	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	133, 45, 136, 48	mulge0d 10604	. . . . . . . . 9 $/\$
138		elxrge0 12281	. . . . . . . . 9 $/\$
139	135, 137, 138	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 $/\$
140	32	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
141	139, 140	ifclda 4120	. . . . . . 7
142	141	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$
143		eqid 2622	. . . . . 6
144	142, 143	fmptd 6385	. . . . 5 $/\$
145	9	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
146	133, 145	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
147	146	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
148	134	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
149	22	releabsd 14190	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
150	11, 18, 21	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
151		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
152		absexp 14044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
153	14, 151, 152	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
154		absi 14026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
155	154	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
156		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
157	12, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
158	155, 157	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	153, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161	160	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
162	10	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
163	162	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
164	163	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
165	164	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
166	150, 161, 165	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
167	4, 9	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
168	167	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
169	166, 168	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	149, 169	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
172	14, 43, 171	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
173	40, 172	abstrid 14195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
174	9	replimd 13937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
175	174	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
176		absmul 14034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
177	14, 43, 176	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
178	154	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
179	177, 178	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
180	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
181	180	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
182	179, 181	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
183	182	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
184	173, 175, 183	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
185	145, 45, 133, 136, 184	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
186	185	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
187	23, 147, 148, 170, 186	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
188	137	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
189		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13
190		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13
191	189, 190	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
192	187, 188, 191	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
193		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12
194	193	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
195	113	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
196	192, 194, 195	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
197	196	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$
198		0le0 11110	. . . . . . . . . . 11
199	198	a1i 11	. . . . . . . . . 10
200		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10
201	199, 200, 121	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9
202	197, 201	pm2.61d1 171	. . . . . . . 8 $/\$
203	2, 202	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
204	203	ralrimivw 2967	. . . . . 6 $/\$ $/\$
205	57	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
206		eqidd 2623	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
207		eqidd 2623	. . . . . . 7 $/\$
208	205, 36, 142, 206, 207	ofrfval2 6915	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
209	204, 208	mpbird 247	. . . . 5 $/\$ $/\$
210		itg2le 23506	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
211	38, 144, 209, 210	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$ $/\$
212		itg2lecl 23505	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
213	38, 132, 211, 212	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$
214	213	ralrimiva 2966	. 2 $/\$
215		eqidd 2623	. . 3 $/\$ $/\$
216		eqidd 2623	. . 3 $/\$
217	215, 216, 10	isibl2 23533	. 2 MblFn $/\$ $/\$
218	1, 214, 217	mpbir2and 957	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200

cif 4086

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cofr 6896

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cxr 10073

cle 10075

cdiv 10684

c3 11071

cn0 11292

cz 11377

cico 12177

cicc 12178

cfz 12326

cexp 12860

cre 13837

cim 13838

cabs 13974 MblFncmbf 23383

citg2 23385

cibl 23386

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-0p 23437

This theorem is referenced by: itgmulc2nclem1 33476 itgmulc2nclem2 33477 itgmulc2nc 33478 itgabsnc 33479 ftc1anclem6 33490

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