Theorem iblabsr 23596

Description: A measurable function is integrable iff its absolute value is integrable. (See iblabs 23595 for the forward implication.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabsr.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabsr.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
iblabsr.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblabsr	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iblabsr

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabsr.2	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
2		ifan 4134	. . . . . . 7 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
3		iblabsr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
4	1, 3	mbfmptcl 23404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
5	4	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
6		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
7	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> k e. ZZ )
8		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _i e. CC
9		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _i =/= 0
10		expclz 12885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
11	8, 9, 10	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( _i ^ k ) e. CC )
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
13		expne0i 12892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 /\ k e. ZZ ) -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
14	8, 9, 13	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
15	7, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( _i ^ k ) =/= 0 )
16	5, 12, 15	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( B / ( _i ^ k ) ) e. CC )
17	16	recld 13934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) e. RR )
18		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
19		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR )
20	17, 18, 19	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR )
21	20	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR* )
22		max1 12016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
23	18, 17, 22	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
24		elxrge0 12281	. . . . . . . . 9 |- ( if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
25	21, 23, 24	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
26		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
28	25, 27	ifclda 4120	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
29	2, 28	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
30	29	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
31		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
32	30, 31	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
33		iblabsr.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
34	4	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
35	4	absge0d 14183	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
36	34, 35	iblpos 23559	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
37	33, 36	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
38	37	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
39	38	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
40	34	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* )
41		elxrge0 12281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
42	40, 35, 41	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
44	42, 43	ifclda 4120	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
46		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
47	45, 46	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
48	47	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
49	16	releabsd 14190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) <_ ( abs ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
50	5, 12, 15	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( ( abs ` B ) / ( abs ` ( _i ^ k ) ) ) )
51		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. NN0 )
52	51	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> k e. NN0 )
53		absexp 14044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( _i ^ k ) ) = ( ( abs ` _i ) ^ k ) )
54	8, 52, 53	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i ^ k ) ) = ( ( abs ` _i ) ^ k ) )
55		absi 14026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs ` _i ) = 1
56	55	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs ` _i ) ^ k ) = ( 1 ^ k )
57		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( 1 ^ k ) = 1 )
58	7, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( 1 ^ k ) = 1 )
59	56, 58	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) ^ k ) = 1 )
60	54, 59	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i ^ k ) ) = 1 )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) / ( abs ` ( _i ^ k ) ) ) = ( ( abs ` B ) / 1 ) )
62	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. CC )
63	62	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. CC )
64	63	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) / 1 ) = ( abs ` B ) )
65	50, 61, 64	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( abs ` B ) )
66	49, 65	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) <_ ( abs ` B ) )
67	5	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
68		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) -> ( ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) <_ ( abs ` B ) <-> if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ ( abs ` B ) ) )
69		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 = if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( abs ` B ) <-> if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ ( abs ` B ) ) )
70	68, 69	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) <_ ( abs ` B ) /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ ( abs ` B ) )
71	66, 67, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ ( abs ` B ) )
72		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
74		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
76	71, 73, 75	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
77	76	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
78		0le0 11110	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 0
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
80		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
81		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
82	79, 80, 81	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
83	77, 82	pm2.61d1 171	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
84	2, 83	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
85	84	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
86		reex 10027	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> RR e. _V )
88	40	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* )
89	88, 67, 41	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
90	89, 27	ifclda 4120	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
92		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
93		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
94	87, 30, 91, 92, 93	ofrfval2 6915	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
95	85, 94	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
96		itg2le 23506	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) )
97	32, 48, 95, 96	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) )
98		itg2lecl 23505	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
99	32, 39, 97, 98	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... 3 ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
100	99	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
101		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
102		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) )
103	101, 102, 3	isibl2 23533	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
104	1, 100, 103	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   / cdiv 10684   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ^cexp 12860   Recre 13837   abscabs 13974  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  bddmulibl  23605