Theorem ismtyres 33607

Description: A restriction of an isometry is an isometry. The condition A C_ X is not necessary but makes the proof easier. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismtyres.2	|- B = ( F " A )
ismtyres.3	|- S = ( M |` ( A X. A ) )
ismtyres.4	|- T = ( N |` ( B X. B ) )

Assertion

Ref	Expression
ismtyres	|- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> ( F |` A ) e. ( S Ismty T ) )

Proof of Theorem ismtyres

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isismty 33600	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) )
2	1	simprbda 653	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
3	2	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4		f1of1 6136	. . . 4 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -1-1-> Y )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> F : X -1-1-> Y )
6		simprr 796	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> A C_ X )
7		f1ores 6151	. . 3 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ A C_ X ) -> ( F |` A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> ( F |` A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
9	1	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) )
10	9	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) )
11		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ X -> ( u e. A -> u e. X ) )
12		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ X -> ( v e. A -> v e. X ) )
13	11, 12	anim12d 586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ X -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u e. X /\ v e. X ) ) )
14	13	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ X /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u e. X /\ v e. X ) )
15		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( x M y ) = ( u M y ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) = ( ( F ` u ) N ( F ` y ) ) )
18	15, 17	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) <-> ( u M y ) = ( ( F ` u ) N ( F ` y ) ) ) )
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( u M y ) = ( u M v ) )
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( ( F ` u ) N ( F ` y ) ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( ( u M y ) = ( ( F ` u ) N ( F ` y ) ) <-> ( u M v ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) ) )
23	18, 22	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. X /\ v e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) -> ( u M v ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) ) )
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ X /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) -> ( u M v ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ X /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> ( u M v ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
26	25	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ X /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u M v ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
27	26	adantlrl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ X /\ ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u M v ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
28	27	adantlll 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ A C_ X ) /\ ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u M v ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
29		ismtyres.3	. . . . . . . . 9 |- S = ( M |` ( A X. A ) )
30	29	oveqi 6663	. . . . . . . 8 |- ( u S v ) = ( u ( M |` ( A X. A ) ) v )
31		ovres 6800	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u ( M |` ( A X. A ) ) v ) = ( u M v ) )
32	30, 31	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u S v ) = ( u M v ) )
33	32	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ A C_ X ) /\ ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u S v ) = ( u M v ) )
34		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. A -> ( ( F |` A ) ` u ) = ( F ` u ) )
35	34	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F |` A ) ` u ) = ( F ` u ) )
36		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. A -> ( ( F |` A ) ` v ) = ( F ` v ) )
37	36	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F |` A ) ` v ) = ( F ` v ) )
38	35, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) = ( ( F ` u ) T ( F ` v ) ) )
39		ismtyres.4	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( N |` ( B X. B ) )
40	39	oveqi 6663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` u ) T ( F ` v ) ) = ( ( F ` u ) ( N |` ( B X. B ) ) ( F ` v ) )
41		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Fun F )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> Fun F )
43		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> dom F = X )
44	43	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( A C_ dom F <-> A C_ X ) )
45	44	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> A C_ dom F )
46		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( u e. A -> ( F ` u ) e. ( F " A ) ) )
47	42, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( u e. A -> ( F ` u ) e. ( F " A ) ) )
48	47	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ u e. A ) -> ( F ` u ) e. ( F " A ) )
49		ismtyres.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( F " A )
50	48, 49	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ u e. A ) -> ( F ` u ) e. B )
51	50	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( F ` u ) e. B )
52		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( v e. A -> ( F ` v ) e. ( F " A ) ) )
53	42, 45, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( v e. A -> ( F ` v ) e. ( F " A ) ) )
54	53	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. ( F " A ) )
55	54, 49	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. B )
56	55	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( F ` v ) e. B )
57	51, 56	ovresd 6801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) ( N |` ( B X. B ) ) ( F ` v ) ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
58	40, 57	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` u ) T ( F ` v ) ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
59	38, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ X /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
60	59	adantlrr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ X /\ ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
61	60	adantlll 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ A C_ X ) /\ ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) = ( ( F ` u ) N ( F ` v ) ) )
62	28, 33, 61	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ A C_ X ) /\ ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u S v ) = ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) )
63	62	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ A C_ X ) /\ ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u S v ) = ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) )
64	63	adantlrl 756	. . 3 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) /\ ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u S v ) = ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) )
65	10, 64	mpdan 702	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u S v ) = ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) )
66		xmetres2 22166	. . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A C_ X ) -> ( M |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
67	29, 66	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A C_ X ) -> S e. ( *Met ` A ) )
68	67	ad2ant2rl 785	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> S e. ( *Met ` A ) )
69		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
70		imassrn 5477	. . . . . . . 8 |- ( F " A ) C_ ran F
71	49, 70	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- B C_ ran F
72		f1ofo 6144	. . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
73		forn 6118	. . . . . . . 8 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
74	3, 72, 73	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> ran F = Y )
75	71, 74	syl5sseq 3653	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> B C_ Y )
76		xmetres2 22166	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( N |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
77	69, 75, 76	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> ( N |` ( B X. B ) ) e. ( *Met ` B ) )
78	39, 77	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> T e. ( *Met ` B ) )
79	49	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( *Met ` B ) = ( *Met ` ( F " A ) )
80	78, 79	syl6eleq 2711	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> T e. ( *Met ` ( F " A ) ) )
81		isismty 33600	. . 3 |- ( ( S e. ( *Met ` A ) /\ T e. ( *Met ` ( F " A ) ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( S Ismty T ) <-> ( ( F |` A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) /\ A. u e. A A. v e. A ( u S v ) = ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) ) ) )
82	68, 80, 81	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( S Ismty T ) <-> ( ( F |` A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) /\ A. u e. A A. v e. A ( u S v ) = ( ( ( F |` A ) ` u ) T ( ( F |` A ) ` v ) ) ) ) )
83	8, 65, 82	mpbir2and 957	1 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) /\ ( F e. ( M Ismty N ) /\ A C_ X ) ) -> ( F |` A ) e. ( S Ismty T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   *Metcxmt 19731   Ismty cismty 33597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-xr 10078  df-xmet 19739  df-ismty 33598

This theorem is referenced by:  reheibor  33638