Theorem islinds2 20152

Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf.b	|- B = ( Base ` W )
islindf.v	|- .x. = ( .s ` W )
islindf.k	|- K = ( LSpan ` W )
islindf.s	|- S = (Scalar ` W )
islindf.n	|- N = ( Base ` S )
islindf.z	|- .0. = ( 0g ` S )

Assertion

Ref	Expression
islinds2	|- ( W e. Y -> ( F e. (LIndS ` W ) <-> ( F C_ B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, x   k, N   k, W, x   .0. , k

Allowed substitution hints:   B( x, k)   S( x, k)   .x. ( x, k)   K( x, k)   N( x)   Y( x, k)   .0. ( x)

Proof of Theorem islinds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islindf.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
2	1	islinds 20148	. 2 |- ( W e. Y -> ( F e. (LIndS ` W ) <-> ( F C_ B /\ ( _I |` F ) LIndF W ) ) )
3		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` W ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- B e. _V
5	4	ssex 4802	. . . . . 6 |- ( F C_ B -> F e. _V )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( W e. Y /\ F C_ B ) -> F e. _V )
7		resiexg 7102	. . . . 5 |- ( F e. _V -> ( _I |` F ) e. _V )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( W e. Y /\ F C_ B ) -> ( _I |` F ) e. _V )
9		islindf.v	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
10		islindf.k	. . . . 5 |- K = ( LSpan ` W )
11		islindf.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` W )
12		islindf.n	. . . . 5 |- N = ( Base ` S )
13		islindf.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` S )
14	1, 9, 10, 11, 12, 13	islindf 20151	. . . 4 |- ( ( W e. Y /\ ( _I |` F ) e. _V ) -> ( ( _I |` F ) LIndF W <-> ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) )
15	8, 14	syldan 487	. . 3 |- ( ( W e. Y /\ F C_ B ) -> ( ( _I |` F ) LIndF W <-> ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) )
16	15	pm5.32da 673	. 2 |- ( W e. Y -> ( ( F C_ B /\ ( _I |` F ) LIndF W ) <-> ( F C_ B /\ ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) ) )
17		f1oi 6174	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` F ) : F -1-1-onto-> F
18		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` F ) : F -1-1-onto-> F -> ( _I |` F ) : F --> F )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( _I |` F ) : F --> F
20		dmresi 5457	. . . . . . . . 9 |- dom ( _I |` F ) = F
21	20	feq2i 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> F <-> ( _I |` F ) : F --> F )
22	19, 21	mpbir 221	. . . . . . 7 |- ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> F
23		fss 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> F /\ F C_ B ) -> ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B )
24	22, 23	mpan 706	. . . . . 6 |- ( F C_ B -> ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B )
25	24	biantrurd 529	. . . . 5 |- ( F C_ B -> ( A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) <-> ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) ) )
26	20	raleqi 3142	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) )
27		fvresi 6439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. F -> ( ( _I |` F ) ` x ) = x )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. F -> ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) = ( k .x. x ) )
29	20	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) = ( F \ { x } )
30	29	imaeq2i 5464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) = ( ( _I |` F ) " ( F \ { x } ) )
31		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F \ { x } ) C_ F
32		resiima 5480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F \ { x } ) C_ F -> ( ( _I |` F ) " ( F \ { x } ) ) = ( F \ { x } ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _I |` F ) " ( F \ { x } ) ) = ( F \ { x } )
34	30, 33	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) = ( F \ { x } )
35	34	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) = ( K ` ( F \ { x } ) )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. F -> ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) = ( K ` ( F \ { x } ) ) )
37	28, 36	eleq12d 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. F -> ( ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
38	37	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( x e. F -> ( -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
39	38	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( x e. F -> ( A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
40	39	ralbiia 2979	. . . . . . 7 |- ( A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) )
41	26, 40	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) )
42	41	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) <-> ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
43	25, 42	syl6rbbr 279	. . . 4 |- ( F C_ B -> ( ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) <-> A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
44	43	pm5.32i 669	. . 3 |- ( ( F C_ B /\ ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) <-> ( F C_ B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
45	44	a1i 11	. 2 |- ( W e. Y -> ( ( F C_ B /\ ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) <-> ( F C_ B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) ) )
46	2, 16, 45	3bitrd 294	1 |- ( W e. Y -> ( F e. (LIndS ` W ) <-> ( F C_ B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   _I cid 5023   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LSpanclspn 18971   LIndF clindf 20143  LIndSclinds 20144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lindf 20145  df-linds 20146

This theorem is referenced by:  lindsind  20156  lindfrn  20160  islbs4  20171  lindsenlbs  33404  lindslininds  42253