Theorem islidl 19211

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	|- U = (LIdeal ` R )
islidl.b	|- B = ( Base ` R )
islidl.p	|- .+ = ( +g ` R )
islidl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
islidl	|- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ I =/= (/) /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) .+ b ) e. I ) )

Distinct variable groups:   x, B   I, a, b, x   R, a, b, x

Allowed substitution hints:   B( a, b)   .+ ( x, a, b)   .x. ( x, a, b)   U( x, a, b)

Proof of Theorem islidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmsca2 19201	. 2 |- ( _I ` R ) = (Scalar ` (ringLMod ` R ) )
2		baseid 15919	. . 3 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
3		islidl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
4	2, 3	strfvi 15913	. 2 |- B = ( Base ` ( _I ` R ) )
5		rlmbas 19195	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
6	3, 5	eqtri 2644	. 2 |- B = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
7		islidl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
8		rlmplusg 19196	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` (ringLMod ` R ) )
9	7, 8	eqtri 2644	. 2 |- .+ = ( +g ` (ringLMod ` R ) )
10		islidl.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
11		rlmvsca 19202	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .s ` (ringLMod ` R ) )
12	10, 11	eqtri 2644	. 2 |- .x. = ( .s ` (ringLMod ` R ) )
13		islidl.s	. . 3 |- U = (LIdeal ` R )
14		lidlval 19192	. . 3 |- (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
15	13, 14	eqtri 2644	. 2 |- U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
16	1, 4, 6, 9, 12, 15	islss 18935	1 |- ( I e. U <-> ( I C_ B /\ I =/= (/) /\ A. x e. B A. a e. I A. b e. I ( ( x .x. a ) .+ b ) e. I ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   _I cid 5023   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   LSubSpclss 18932  ringLModcrglmod 19169  LIdealclidl 19170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174

This theorem is referenced by:  hbtlem2  37694  2zlidl  41934