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Theorem c0snmgmhm 41914
Description: The constant mapping to zero is a magma homomorphism from a magma with one element to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrrhm.b |- B = ( Base ` T )
zrrhm.0 |- .0. = ( 0g ` S )
zrrhm.h |- H = ( x e. B |-> .0. )
Assertion
Ref Expression
c0snmgmhm |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm /\ ( # ` B ) = 1 ) -> H e. ( T MgmHom S ) )
Distinct variable groups:   x, B   x, S   x, T   x, .0.
Allowed substitution hint:   H( x)
Proof of Theorem c0snmgmhm
Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndmgm 17300 . . . . 5 |- ( S e. Mnd -> S e. Mgm )
21anim1i 592 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) -> ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) )
323adant3 1081 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm /\ ( # ` B ) = 1 ) -> ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) )
43ancomd 467 . 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm /\ ( # ` B ) = 1 ) -> ( T e. Mgm /\ S e. Mgm ) )
5 zrrhm.b . . . . . 6 |- B = ( Base ` T )
6 fvex 6201 . . . . . 6 |- ( Base ` T ) e. _V
75, 6eqeltri 2697 . . . . 5 |- B e. _V
8 hash1snb 13207 . . . . 5 |- ( B e. _V -> ( ( # ` B ) = 1 <-> E. b B = { b } ) )
97, 8ax-mp 5 . . . 4 |- ( ( # ` B ) = 1 <-> E. b B = { b } )
10 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
11 zrrhm.0 . . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( 0g ` S )
1210, 11mndidcl 17308 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Mnd -> .0. e. ( Base ` S ) )
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
1514adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ x e. B ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
16 zrrhm.h . . . . . . . 8 |- H = ( x e. B |-> .0. )
1715, 16fmptd 6385 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> H : B --> ( Base ` S ) )
1816a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> H = ( x e. B |-> .0. ) )
19 eqidd 2623 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ x = b ) -> .0. = .0. )
20 vsnid 4209 . . . . . . . . . . . . 13 |- b e. { b }
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B = { b } -> b e. { b } )
22 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B = { b } -> ( b e. B <-> b e. { b } ) )
2321, 22mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 |- ( B = { b } -> b e. B )
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> b e. B )
2518, 19, 24, 14fvmptd 6288 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( H ` b ) = .0. )
26 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ ( H ` b ) = .0. ) -> ( H ` b ) = .0. )
2726, 26oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ ( H ` b ) = .0. ) -> ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` b ) ) = ( .0. ( +g ` S ) .0. ) )
28 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
2910, 28, 11mndlid 17311 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. Mnd /\ .0. e. ( Base ` S ) ) -> ( .0. ( +g ` S ) .0. ) = .0. )
3012, 29mpdan 702 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. Mnd -> ( .0. ( +g ` S ) .0. ) = .0. )
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) -> ( .0. ( +g ` S ) .0. ) = .0. )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( .0. ( +g ` S ) .0. ) = .0. )
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ ( H ` b ) = .0. ) -> ( .0. ( +g ` S ) .0. ) = .0. )
34 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) -> T e. Mgm )
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> T e. Mgm )
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ b e. B ) -> T e. Mgm )
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ b e. B ) -> b e. B )
38 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
395, 38mgmcl 17245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T e. Mgm /\ b e. B /\ b e. B ) -> ( b ( +g ` T ) b ) e. B )
4036, 37, 37, 39syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ b e. B ) -> ( b ( +g ` T ) b ) e. B )
41 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B = { b } -> ( ( b ( +g ` T ) b ) e. B <-> ( b ( +g ` T ) b ) e. { b } ) )
42 elsni 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b ( +g ` T ) b ) e. { b } -> ( b ( +g ` T ) b ) = b )
4341, 42syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B = { b } -> ( ( b ( +g ` T ) b ) e. B -> ( b ( +g ` T ) b ) = b ) )
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( ( b ( +g ` T ) b ) e. B -> ( b ( +g ` T ) b ) = b ) )
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ b e. B ) -> ( ( b ( +g ` T ) b ) e. B -> ( b ( +g ` T ) b ) = b ) )
4640, 45mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ b e. B ) -> ( b ( +g ` T ) b ) = b )
4724, 46mpdan 702 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( b ( +g ` T ) b ) = b )
4847fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) = ( H ` b ) )
4948adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ ( H ` b ) = .0. ) -> ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) = ( H ` b ) )
5049, 26eqtr2d 2657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ ( H ` b ) = .0. ) -> .0. = ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) )
5127, 33, 503eqtrrd 2661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) /\ ( H ` b ) = .0. ) -> ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` b ) ) )
5225, 51mpdan 702 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` b ) ) )
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( B = { b } -> B = { b } )
5453raleqdv 3144 . . . . . . . . . . 11 |- ( B = { b } -> ( A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) <-> A. c e. { b } ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) )
5553, 54raleqbidv 3152 . . . . . . . . . 10 |- ( B = { b } -> ( A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) <-> A. a e. { b } A. c e. { b } ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) )
5655adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) <-> A. a e. { b } A. c e. { b } ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) )
57 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- b e. _V
58 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( a ( +g ` T ) c ) = ( b ( +g ` T ) c ) )
5958fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( H ` ( b ( +g ` T ) c ) ) )
60 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( H ` a ) = ( H ` b ) )
6160oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) )
6259, 61eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) <-> ( H ` ( b ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) )
63 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = b -> ( b ( +g ` T ) c ) = ( b ( +g ` T ) b ) )
6463fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = b -> ( H ` ( b ( +g ` T ) c ) ) = ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) )
65 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = b -> ( H ` c ) = ( H ` b ) )
6665oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( c = b -> ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` b ) ) )
6764, 66eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = b -> ( ( H ` ( b ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) <-> ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` b ) ) ) )
6862, 672ralsng 4220 . . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. _V /\ b e. _V ) -> ( A. a e. { b } A. c e. { b } ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) <-> ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` b ) ) ) )
6957, 57, 68mp2an 708 . . . . . . . . 9 |- ( A. a e. { b } A. c e. { b } ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) <-> ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` b ) ) )
7056, 69syl6bb 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) <-> ( H ` ( b ( +g ` T ) b ) ) = ( ( H ` b ) ( +g ` S ) ( H ` b ) ) ) )
7152, 70mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) )
7217, 71jca 554 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) /\ B = { b } ) -> ( H : B --> ( Base ` S ) /\ A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) )
7372ex 450 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) -> ( B = { b } -> ( H : B --> ( Base ` S ) /\ A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) ) )
7473exlimdv 1861 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) -> ( E. b B = { b } -> ( H : B --> ( Base ` S ) /\ A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) ) )
759, 74syl5bi 232 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm ) -> ( ( # ` B ) = 1 -> ( H : B --> ( Base ` S ) /\ A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) ) )
76753impia 1261 . 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm /\ ( # ` B ) = 1 ) -> ( H : B --> ( Base ` S ) /\ A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) )
775, 10, 38, 28ismgmhm 41783 . 2 |- ( H e. ( T MgmHom S ) <-> ( ( T e. Mgm /\ S e. Mgm ) /\ ( H : B --> ( Base ` S ) /\ A. a e. B A. c e. B ( H ` ( a ( +g ` T ) c ) ) = ( ( H ` a ) ( +g ` S ) ( H ` c ) ) ) ) )
784, 76, 77sylanbrc 698 1 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mgm /\ ( # ` B ) = 1 ) -> H e. ( T MgmHom S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   #chash 13117   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  Mgmcmgm 17240   Mndcmnd 17294   MgmHom cmgmhm 41777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgmhm 41779
This theorem is referenced by:  c0snmhm  41915
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