heibor1lem - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem heibor1lem 33608

Description: Lemma for heibor1 33609. A compact metric space is complete. This proof works by considering the collection

for each

, which has the finite intersection property because any finite intersection of upper integer sets is another upper integer set, so any finite intersection of the image closures will contain

for some

. Thus, by compactness, the intersection contains a point

, which must then be the convergent point of

. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
heibor.1
heibor1.3
heibor1.4
heibor1.5
heibor1.6

**Assertion**
Ref	Expression
heibor1lem

Proof of Theorem heibor1lem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor1.4	. . 3
2		heibor1.3	. . . . . . . . . 10
3		metxmet 22139	. . . . . . . . . 10
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9
5		heibor.1	. . . . . . . . . 10
6	5	mopntop 22245	. . . . . . . . 9
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . 8
8		imassrn 5477	. . . . . . . . 9
9		heibor1.6	. . . . . . . . . . 11
10		frn 6053	. . . . . . . . . . 11
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10
12	5	mopnuni 22246	. . . . . . . . . . 11
13	4, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10
14	11, 13	sseqtrd 3641	. . . . . . . . 9
15	8, 14	syl5ss 3614	. . . . . . . 8
16		eqid 2622	. . . . . . . . 9
17	16	clscld 20851	. . . . . . . 8 $/\$
18	7, 15, 17	syl2anc 693	. . . . . . 7
19		eleq1a 2696	. . . . . . 7
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6
21	20	rexlimdvw 3034	. . . . 5
22	21	abssdv 3676	. . . 4
23		fvex 6201	. . . . 5
24	23	elpw2 4828	. . . 4
25	22, 24	sylibr 224	. . 3
26		elin 3796	. . . . . . 7 $/\$
27		selpw 4165	. . . . . . . . 9
28		ssabral 3673	. . . . . . . . 9
29	27, 28	bitri 264	. . . . . . . 8
30	29	anbi1i 731	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31	26, 30	bitri 264	. . . . . 6 $/\$
32		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34		inteq 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13
37	33, 36	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
38		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
40		inteq 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13
43	39, 42	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
46		inteq 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	46	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13
49	45, 48	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
50		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . 14
51	50	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
52		inteq 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	52	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . 14
54	53	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13
55	51, 54	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
56		uzf 11690	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
59		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . 15
60		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
61	58, 59, 60	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14
62		ssv 3625	. . . . . . . . . . . . . . 15
63		int0 4490	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	62, 63	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . . . 14
65		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	65	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	61, 64, 67	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
70		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
71		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73	72	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
74	73	imim1i 63	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
75		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80	79	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81	78, 80	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82	77, 81	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83		uzin2 14084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
84	8, 11	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
85	84, 13	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
86	16	sscls 20860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
87	7, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
88		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
89	87, 88	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
90		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
91		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
92		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
93		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
94	92, 93	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
95		ssin 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
96	94, 95	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
97	90, 91, 96	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
98		ss2in 3840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
99	97, 98	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
100	78	intunsn 4516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
101	99, 100	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
102	101	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
103	89, 102	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
104	103	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
105		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
106	105	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107	106	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
108	107	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
109	104, 108	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
110	109	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
111	83, 110	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
112	111	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113		reeanv 3107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
114		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115	114	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116	115	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117	112, 113, 116	3imtr3g 284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
118	117	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16
119	82, 118	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15
120	119	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	74, 120	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
123	37, 43, 49, 55, 69, 122	findcard2 8200	. . . . . . . . . . 11 $/\$
124	123	com12 32	. . . . . . . . . 10 $/\$
125	124	impr 649	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
126		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12
127	9, 126	syl 17	. . . . . . . . . . 11
128		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15
129		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
131		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
134	58, 132, 133	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135	131, 134	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136		uzin2 14084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
137	135, 136	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138		uzn0 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
140		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
141	139, 140	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
142		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	143, 144	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
147	142, 145, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	147, 148	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
150	149	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . 16
151	141, 150	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15
152	151	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
154	130, 152, 153	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
155		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
156	155	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13
157	154, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
158	157	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11
159	127, 158	syl 17	. . . . . . . . . 10
160	159	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
161	125, 160	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
162	161	necomd 2849	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
163	162	neneqd 2799	. . . . . 6 $/\$ $/\$
164	31, 163	sylan2b 492	. . . . 5 $/\$
165	164	nrexdv 3001	. . . 4
166		0ex 4790	. . . . 5
167		zex 11386	. . . . . . . 8
168	167	pwex 4848	. . . . . . 7
169		frn 6053	. . . . . . . 8
170	56, 169	ax-mp 5	. . . . . . 7
171	168, 170	ssexi 4803	. . . . . 6
172	171	abrexex 7141	. . . . 5
173		elfi 8319	. . . . 5 $/\$
174	166, 172, 173	mp2an 708	. . . 4
175	165, 174	sylnibr 319	. . 3
176		cmptop 21198	. . . . . 6
177		cmpfi 21211	. . . . . 6
178	176, 177	syl 17	. . . . 5
179	178	ibi 256	. . . 4
180		fveq2 6191	. . . . . . . 8
181	180	eleq2d 2687	. . . . . . 7
182	181	notbid 308	. . . . . 6
183		inteq 4478	. . . . . . . 8
184	183	neeq1d 2853	. . . . . . 7
185		n0 3931	. . . . . . 7
186	184, 185	syl6bb 276	. . . . . 6
187	182, 186	imbi12d 334	. . . . 5
188	187	rspccv 3306	. . . 4
189	179, 188	syl 17	. . 3
190	1, 25, 175, 189	syl3c 66	. 2
191		lmrel 21034	. . 3
192		r19.23v 3023	. . . . . 6
193	192	albii 1747	. . . . 5
194		fvex 6201	. . . . . . . 8
195		eleq2 2690	. . . . . . . 8
196	194, 195	ceqsalv 3233	. . . . . . 7
197	196	ralbii 2980	. . . . . 6
198		ralcom4 3224	. . . . . 6
199	197, 198	bitr3i 266	. . . . 5
200		vex 3203	. . . . . 6
201	200	elintab 4487	. . . . 5
202	193, 199, 201	3bitr4i 292	. . . 4
203		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
204		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14
205	204	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
206	205	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12
207	206	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 $/\$
208	135, 203, 207	mp2an 708	. . . . . . . . . 10
209		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11
210		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12
211	210	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11
212	209, 211	elab 3350	. . . . . . . . . 10
213	208, 212	mpbir 221	. . . . . . . . 9
214		intss1 4492	. . . . . . . . 9
215	213, 214	ax-mp 5	. . . . . . . 8
216		imassrn 5477	. . . . . . . . . . 11
217	216, 14	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10
218	16	clsss3 20863	. . . . . . . . . 10 $/\$
219	7, 217, 218	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
220	219, 13	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8
221	215, 220	syl5ss 3614	. . . . . . 7
222	221	sselda 3603	. . . . . 6 $/\$
223	202, 222	sylan2b 492	. . . . 5 $/\$
224		heibor1.5	. . . . . . . . . . . 12
225		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13
226	131, 4, 225	iscau3 23076	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
227	224, 226	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	simprd 479	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
229		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
230	229	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
231	230	reximi 3011	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
232	231	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
233	228, 232	syl 17	. . . . . . . . 9
234	233	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
235		rphalfcl 11858	. . . . . . . 8
236		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
237	236	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . 10
238	237	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9
239	238	rspccva 3308	. . . . . . . 8 $/\$
240	234, 235, 239	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
241		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . 13
242	9, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
243	242	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
244	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
245		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . 14
246	245, 14	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . 13
247	246	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
248		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15
249		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
250	58, 248, 249	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
251	250	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
252		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
253		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . 16
254	253	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
255	254	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14
256	255	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13
257	251, 252, 256	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
258	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
259	223	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
260	235	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
261	260	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
262	5	blopn 22305	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
263	258, 259, 261, 262	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
264		blcntr 22218	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
265	258, 259, 260, 264	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
266	16	clsndisj 20879	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
267	244, 247, 257, 263, 265, 266	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
268		n0 3931	. . . . . . . . . . . 12
269		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
270	269	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16
271		fvelima 6248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
272	270, 271	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
273		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
274	273	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
275	274	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
276		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
277	275, 276	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
278	277	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
279	272, 278	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
280	279	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13
281	280	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . 12
282	268, 281	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11
283	243, 267, 282	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
284		r19.29 3072	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
285		uznnssnn 11735	. . . . . . . . . . . . . 14
286	285	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
287		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
288	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
289		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
290	289, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
291	290	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
292		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
293	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
294		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
295	294	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
296	295	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
297	293, 296	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
298		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
299	288, 291, 292, 297, 298	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
300	287, 299	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
301	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
302		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
303		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
304	296, 302, 303	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
305	293, 304	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
306		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
307	301, 297, 305, 306	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
308		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
309	301, 297, 292, 308	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
310	290	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
311		lt2add 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
312	307, 309, 310, 310, 311	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
313	300, 312	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
314	289	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
315	314	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
316	315	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
317	313, 316	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
318		mettri2 22146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
319	301, 297, 305, 292, 318	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
320		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
321	301, 305, 292, 320	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
322	307, 309	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
323	289	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
324		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
325	321, 322, 323, 324	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
326	319, 325	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
327	317, 326	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
328	327	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
329	328	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
330	329	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
331	330	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
332	331	impd 447	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
333	332	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
334		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . 13
335	286, 333, 334	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
336	223, 335	syldanl 735	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
337	284, 336	syl5 34	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
338	283, 337	mpan2d 710	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
339	338	anassrs 680	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
340	339	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
341	240, 340	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$
342	341	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$
343		eqidd 2623	. . . . . . 7 $/\$
344	5, 4, 131, 225, 343, 9	lmmbrf 23060	. . . . . 6 $/\$
345	344	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
346	223, 342, 345	mpbir2and 957	. . . 4 $/\$
347	202, 346	sylan2br 493	. . 3 $/\$
348		releldm 5358	. . 3 $/\$
349	191, 347, 348	sylancr 695	. 2 $/\$
350	190, 349	exlimddv 1863	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

cuni 4436

cint 4475 class class class wbr 4653

cdm 5114

crn 5115

cima 5117

wrel 5119

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cpm 7858

cfn 7955

cfi 8316

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cxmt 19731

cme 19732

cbl 19733

cmopn 19736

ctop 20698

ccld 20820

ccl 20822

clm 21030

ccmp 21189

cca 23051

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-lm 21033 df-cmp 21190 df-cau 23054

This theorem is referenced by: heibor1 33609

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