Theorem unibrsiga 30249

Description: The union of the Borel Algebra is the set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
unibrsiga	|- U.𝔅ℝ = RR

Proof of Theorem unibrsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 22565	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		unisg 30206	. . 3 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top -> U. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) = U. ( topGen ` ran (,) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- U. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) = U. ( topGen ` ran (,) )
4		df-brsiga 30245	. . 3 |- 𝔅ℝ = (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
5	4	unieqi 4445	. 2 |- U.𝔅ℝ = U. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
6		uniretop 22566	. 2 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2654	1 |- U.𝔅ℝ = RR

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   U.cuni 4436   ran crn 5115   ` cfv 5888   RRcr 9935   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Topctop 20698  sigaGencsigagen 30201  𝔅_ℝcbrsiga 30244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245

This theorem is referenced by:  elmbfmvol2  30329  mbfmcnt  30330  br2base  30331  isrrvv  30505  orvcelval  30530  dstrvprob  30533