Theorem dmvlsiga 30192

Description: Lebesgue-measurable subsets of RR form a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmvlsiga	|- dom vol e. (sigAlgebra ` RR )

Proof of Theorem dmvlsiga

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssb 4612	. . 3 |- ( dom vol C_ ~P RR <-> A. x e. dom vol x C_ RR )
2		mblss 23299	. . 3 |- ( x e. dom vol -> x C_ RR )
3	1, 2	mprgbir 2927	. 2 |- dom vol C_ ~P RR
4		rembl 23308	. . 3 |- RR e. dom vol
5		cmmbl 23302	. . . 4 |- ( x e. dom vol -> ( RR \ x ) e. dom vol )
6	5	rgen 2922	. . 3 |- A. x e. dom vol ( RR \ x ) e. dom vol
7		nnenom 12779	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
8	7	ensymi 8006	. . . . . . . 8 |- om ~~ NN
9		domentr 8015	. . . . . . . 8 |- ( ( x ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> x ~<_ NN )
10	8, 9	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( x ~<_ om -> x ~<_ NN )
11		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P dom vol -> x C_ dom vol )
12		dfss3 3592	. . . . . . . 8 |- ( x C_ dom vol <-> A. y e. x y e. dom vol )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P dom vol -> A. y e. x y e. dom vol )
14		iunmbl2 23325	. . . . . . 7 |- ( ( x ~<_ NN /\ A. y e. x y e. dom vol ) -> U_ y e. x y e. dom vol )
15	10, 13, 14	syl2anr 495	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P dom vol /\ x ~<_ om ) -> U_ y e. x y e. dom vol )
16	15	ex 450	. . . . 5 |- ( x e. ~P dom vol -> ( x ~<_ om -> U_ y e. x y e. dom vol ) )
17		uniiun 4573	. . . . . 6 |- U. x = U_ y e. x y
18	17	eleq1i 2692	. . . . 5 |- ( U. x e. dom vol <-> U_ y e. x y e. dom vol )
19	16, 18	syl6ibr 242	. . . 4 |- ( x e. ~P dom vol -> ( x ~<_ om -> U. x e. dom vol ) )
20	19	rgen 2922	. . 3 |- A. x e. ~P dom vol ( x ~<_ om -> U. x e. dom vol )
21	4, 6, 20	3pm3.2i 1239	. 2 |- ( RR e. dom vol /\ A. x e. dom vol ( RR \ x ) e. dom vol /\ A. x e. ~P dom vol ( x ~<_ om -> U. x e. dom vol ) )
22		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
23	22	pwex 4848	. . . 4 |- ~P RR e. _V
24	23, 3	ssexi 4803	. . 3 |- dom vol e. _V
25		issiga 30174	. . 3 |- ( dom vol e. _V -> ( dom vol e. (sigAlgebra ` RR ) <-> ( dom vol C_ ~P RR /\ ( RR e. dom vol /\ A. x e. dom vol ( RR \ x ) e. dom vol /\ A. x e. ~P dom vol ( x ~<_ om -> U. x e. dom vol ) ) ) ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. 2 |- ( dom vol e. (sigAlgebra ` RR ) <-> ( dom vol C_ ~P RR /\ ( RR e. dom vol /\ A. x e. dom vol ( RR \ x ) e. dom vol /\ A. x e. ~P dom vol ( x ~<_ om -> U. x e. dom vol ) ) ) )
27	3, 21, 26	mpbir2an 955	1 |- dom vol e. (sigAlgebra ` RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   RRcr 9935   NNcn 11020   volcvol 23232  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  volmeas  30294  mbfmvolf  30328  elmbfmvol2  30329