Theorem istgp2 21895

Description: A group with a topology is a topological group iff the subtraction operation is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpsubcn.2	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpsubcn.3	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
istgp2	|- ( G e. TopGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) )

Proof of Theorem istgp2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpgrp 21882	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
2		tgptps 21884	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> G e. TopSp )
3		tgpsubcn.2	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` G )
4		tgpsubcn.3	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
5	3, 4	tgpsubcn 21894	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
6	1, 2, 5	3jca 1242	. 2 |- ( G e. TopGrp -> ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) )
7		simp1 1061	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. Grp )
8		grpmnd 17429	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
9	8	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. Mnd )
10		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. TopSp )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
14	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> G e. Grp )
15		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
16		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
17	11, 12, 4, 13, 14, 15, 16	grpsubinv 17488	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x .- ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
18	17	mpt2eq3dva 6719	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) = ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) )
19		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +f ` G ) = ( +f ` G )
20	11, 12, 19	plusffval 17247	. . . . . 6 |- ( +f ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) )
21	18, 20	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) = ( +f ` G ) )
22	11, 3	istps 20738	. . . . . . 7 |- ( G e. TopSp <-> J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
23	10, 22	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
24	23, 23	cnmpt1st 21471	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
25	23, 23	cnmpt2nd 21472	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
26	11, 13	grpinvf 17466	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : ( Base ` G ) --> ( Base ` G ) )
27	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( invg ` G ) : ( Base ` G ) --> ( Base ` G ) )
28	27	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( invg ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( invg ` G ) ` x ) ) )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
30	11, 4, 13, 29	grpinvval2 17498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = ( ( 0g ` G ) .- x ) )
31	7, 30	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = ( ( 0g ` G ) .- x ) )
32	31	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( 0g ` G ) .- x ) ) )
33	28, 32	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( invg ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( 0g ` G ) .- x ) ) )
34	11, 29	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
35	34	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
36	23, 23, 35	cnmptc 21465	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( 0g ` G ) ) e. ( J Cn J ) )
37	23	cnmptid 21464	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> x ) e. ( J Cn J ) )
38		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
39	23, 36, 37, 38	cnmpt12f 21469	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( 0g ` G ) .- x ) ) e. ( J Cn J ) )
40	33, 39	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( invg ` G ) e. ( J Cn J ) )
41	23, 23, 25, 40	cnmpt21f 21475	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( ( invg ` G ) ` y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
42	23, 23, 24, 41, 38	cnmpt22f 21478	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x .- ( ( invg ` G ) ` y ) ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
43	21, 42	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
44	19, 3	istmd 21878	. . . 4 |- ( G e. TopMnd <-> ( G e. Mnd /\ G e. TopSp /\ ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) )
45	9, 10, 43, 44	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. TopMnd )
46	3, 13	istgp 21881	. . 3 |- ( G e. TopGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. TopMnd /\ ( invg ` G ) e. ( J Cn J ) ) )
47	7, 45, 40, 46	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) -> G e. TopGrp )
48	6, 47	impbii 199	1 |- ( G e. TopGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ .- e. ( ( J tX J ) Cn J ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   +fcplusf 17239   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   Cn ccn 21028   tX ctx 21363  TopMndctmd 21874   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-tmd 21876  df-tgp 21877

This theorem is referenced by:  distgp  21903  indistgp  21904  qustgplem  21924  ngptgp  22440  cnfldtgp  22672