Theorem qustgplem 21924

Description: Lemma for qustgp 21925. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qustgp.h	|- H = ( G /.s ( G ~QG Y ) )
qustgpopn.x	|- X = ( Base ` G )
qustgpopn.j	|- J = ( TopOpen ` G )
qustgpopn.k	|- K = ( TopOpen ` H )
qustgpopn.f	|- F = ( x e. X |-> [ x ] ( G ~QG Y ) )
qustgplem.m	|- .- = ( z e. X , w e. X |-> [ ( z ( -g ` G ) w ) ] ( G ~QG Y ) )

Assertion

Ref	Expression
qustgplem	|- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> H e. TopGrp )

Distinct variable groups:   x, w, z, G   w, J, x, z   w, F, z   w, X, x, z   w, H, x, z   w, K, x, z   w, Y, x, z

Allowed substitution hints:   F( x)   .- ( x, z, w)

Proof of Theorem qustgplem

Dummy variables t b a c d p q r s u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustgp.h	. . . 4 |- H = ( G /.s ( G ~QG Y ) )
2	1	qusgrp 17649	. . 3 |- ( Y e. (NrmSGrp ` G ) -> H e. Grp )
3	2	adantl 482	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> H e. Grp )
4	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> H = ( G /.s ( G ~QG Y ) ) )
5		qustgpopn.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> X = ( Base ` G ) )
7		qustgpopn.f	. . . . . . 7 |- F = ( x e. X |-> [ x ] ( G ~QG Y ) )
8		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( G ~QG Y ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( G ~QG Y ) e. _V )
10		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> G e. TopGrp )
11	4, 6, 7, 9, 10	qusval 16202	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> H = ( F "s G ) )
12	4, 6, 7, 9, 10	quslem 16203	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG Y ) ) )
13		qustgpopn.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` G )
14		qustgpopn.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` H )
15	11, 6, 12, 10, 13, 14	imastopn 21523	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> K = ( J qTop F ) )
16	13, 5	tgptopon 21886	. . . . . . 7 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
18		qtoptopon 21507	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG Y ) ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` ( X /. ( G ~QG Y ) ) ) )
19	17, 12, 18	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( J qTop F ) e. (TopOn ` ( X /. ( G ~QG Y ) ) ) )
20	15, 19	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> K e. (TopOn ` ( X /. ( G ~QG Y ) ) ) )
21	4, 6, 9, 10	qusbas 16205	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( X /. ( G ~QG Y ) ) = ( Base ` H ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> (TopOn ` ( X /. ( G ~QG Y ) ) ) = (TopOn ` ( Base ` H ) ) )
23	20, 22	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) )
24		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
25	24, 14	istps 20738	. . 3 |- ( H e. TopSp <-> K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) )
26	23, 25	sylibr 224	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> H e. TopSp )
27		eqid 2622	. . . . 5 |- ( -g ` H ) = ( -g ` H )
28	24, 27	grpsubf 17494	. . . 4 |- ( H e. Grp -> ( -g ` H ) : ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) --> ( Base ` H ) )
29	3, 28	syl 17	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( -g ` H ) : ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) --> ( Base ` H ) )
30		cnvimass 5485	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( -g ` H ) " u ) C_ dom ( -g ` H )
31		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -g ` H ) : ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) --> ( Base ` H ) -> dom ( -g ` H ) = ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> dom ( -g ` H ) = ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> dom ( -g ` H ) = ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
34	30, 33	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( `' ( -g ` H ) " u ) C_ ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
35		relxp 5227	. . . . . . . 8 |- Rel ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) )
36		relss 5206	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( -g ` H ) " u ) C_ ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) -> ( Rel ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) -> Rel ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
37	34, 35, 36	mpisyl 21	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> Rel ( `' ( -g ` H ) " u ) )
38	34	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> <. x , y >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) ) )
39		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
40	39	elqs 7799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X /. ( G ~QG Y ) ) <-> E. a e. X x = [ a ] ( G ~QG Y ) )
41	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( X /. ( G ~QG Y ) ) = ( Base ` H ) )
42	41	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( x e. ( X /. ( G ~QG Y ) ) <-> x e. ( Base ` H ) ) )
43	40, 42	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( E. a e. X x = [ a ] ( G ~QG Y ) <-> x e. ( Base ` H ) ) )
44		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
45	44	elqs 7799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( X /. ( G ~QG Y ) ) <-> E. b e. X y = [ b ] ( G ~QG Y ) )
46	41	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( y e. ( X /. ( G ~QG Y ) ) <-> y e. ( Base ` H ) ) )
47	45, 46	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( E. b e. X y = [ b ] ( G ~QG Y ) <-> y e. ( Base ` H ) ) )
48	43, 47	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( ( E. a e. X x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ E. b e. X y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) ) )
49		reeanv 3107	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. X E. b e. X ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) <-> ( E. a e. X x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ E. b e. X y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) )
50		opelxp 5146	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) )
51	48, 49, 50	3bitr4g 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( E. a e. X E. b e. X ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) <-> <. x , y >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) ) )
52	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> H e. Grp )
53	52, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( -g ` H ) : ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) --> ( Base ` H ) )
54		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -g ` H ) : ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) --> ( Base ` H ) -> ( -g ` H ) Fn ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
55		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -g ` H ) Fn ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) -> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) /\ ( ( -g ` H ) ` <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. ) e. u ) ) )
56	53, 54, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) /\ ( ( -g ` H ) ` <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. ) e. u ) ) )
57		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [ a ] ( G ~QG Y ) ( -g ` H ) [ b ] ( G ~QG Y ) ) = ( ( -g ` H ) ` <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. )
58		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> Y e. (NrmSGrp ` G ) )
59		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> a e. X )
60		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> b e. X )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
62	1, 5, 61, 27	qussub 17654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( [ a ] ( G ~QG Y ) ( -g ` H ) [ b ] ( G ~QG Y ) ) = [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) )
63	58, 59, 60, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( [ a ] ( G ~QG Y ) ( -g ` H ) [ b ] ( G ~QG Y ) ) = [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) )
64	57, 63	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( -g ` H ) ` <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. ) = [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) )
65	64	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( -g ` H ) ` <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. ) e. u <-> [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. u ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a e. X /\ b e. X ) )
67		qustgplem.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- .- = ( z e. X , w e. X |-> [ ( z ( -g ` G ) w ) ] ( G ~QG Y ) )
68		tgpgrp 21882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> G e. Grp )
70	5, 61	grpsubf 17494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( G e. Grp -> ( -g ` G ) : ( X X. X ) --> X )
71		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -g ` G ) : ( X X. X ) --> X -> ( -g ` G ) Fn ( X X. X ) )
72	69, 70, 71	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( -g ` G ) Fn ( X X. X ) )
73		fnov 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -g ` G ) Fn ( X X. X ) <-> ( -g ` G ) = ( z e. X , w e. X |-> ( z ( -g ` G ) w ) ) )
74	72, 73	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( -g ` G ) = ( z e. X , w e. X |-> ( z ( -g ` G ) w ) ) )
75	13, 61	tgpsubcn 21894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( G e. TopGrp -> ( -g ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( -g ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
77	74, 76	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( z e. X , w e. X |-> ( z ( -g ` G ) w ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
78		ecexg 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( G ~QG Y ) e. _V -> [ x ] ( G ~QG Y ) e. _V )
79	8, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- [ x ] ( G ~QG Y ) e. _V
80	79, 7	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F Fn X
81		qtopid 21508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F Fn X ) -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
82	17, 80, 81	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> F e. ( J Cn ( J qTop F ) ) )
83	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( J Cn K ) = ( J Cn ( J qTop F ) ) )
84	82, 83	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
85	7, 84	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( x e. X |-> [ x ] ( G ~QG Y ) ) e. ( J Cn K ) )
86		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = ( z ( -g ` G ) w ) -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ ( z ( -g ` G ) w ) ] ( G ~QG Y ) )
87	17, 17, 77, 17, 85, 86	cnmpt21 21474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( z e. X , w e. X |-> [ ( z ( -g ` G ) w ) ] ( G ~QG Y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
88	67, 87	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> .- e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> .- e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
90		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> u e. K )
91		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( .- e. ( ( J tX J ) Cn K ) /\ u e. K ) -> ( `' .- " u ) e. ( J tX J ) )
92	89, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( `' .- " u ) e. ( J tX J ) )
93	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
94		eltx 21371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( ( `' .- " u ) e. ( J tX J ) <-> A. t e. ( `' .- " u ) E. c e. J E. d e. J ( t e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) )
95	93, 93, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( `' .- " u ) e. ( J tX J ) <-> A. t e. ( `' .- " u ) E. c e. J E. d e. J ( t e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) )
96	92, 95	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> A. t e. ( `' .- " u ) E. c e. J E. d e. J ( t e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) )
97		ecexg 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( G ~QG Y ) e. _V -> [ ( z ( -g ` G ) w ) ] ( G ~QG Y ) e. _V )
98	8, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- [ ( z ( -g ` G ) w ) ] ( G ~QG Y ) e. _V
99	67, 98	fnmpt2i 7239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- .- Fn ( X X. X )
100		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( .- Fn ( X X. X ) -> ( <. a , b >. e. ( `' .- " u ) <-> ( <. a , b >. e. ( X X. X ) /\ ( .- ` <. a , b >. ) e. u ) ) )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. a , b >. e. ( `' .- " u ) <-> ( <. a , b >. e. ( X X. X ) /\ ( .- ` <. a , b >. ) e. u ) )
102		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. a , b >. e. ( X X. X ) <-> ( a e. X /\ b e. X ) )
103	102	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( <. a , b >. e. ( X X. X ) /\ ( .- ` <. a , b >. ) e. u ) <-> ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ ( .- ` <. a , b >. ) e. u ) )
104		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a .- b ) = ( .- ` <. a , b >. )
105		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> ( z ( -g ` G ) w ) = ( a ( -g ` G ) b ) )
106	105	eceq1d 7783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z = a /\ w = b ) -> [ ( z ( -g ` G ) w ) ] ( G ~QG Y ) = [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) )
107		ecexg 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G ~QG Y ) e. _V -> [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. _V )
108	8, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. _V
109	106, 67, 108	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( a .- b ) = [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) )
110	104, 109	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( .- ` <. a , b >. ) = [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) )
111	110	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( ( .- ` <. a , b >. ) e. u <-> [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. u ) )
112	111	pm5.32i 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ ( .- ` <. a , b >. ) e. u ) <-> ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. u ) )
113	101, 103, 112	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. a , b >. e. ( `' .- " u ) <-> ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. u ) )
114		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t = <. a , b >. -> ( t e. ( c X. d ) <-> <. a , b >. e. ( c X. d ) ) )
115		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( <. a , b >. e. ( c X. d ) <-> ( a e. c /\ b e. d ) )
116	114, 115	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t = <. a , b >. -> ( t e. ( c X. d ) <-> ( a e. c /\ b e. d ) ) )
117	116	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = <. a , b >. -> ( ( t e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) <-> ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) )
118	117	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = <. a , b >. -> ( E. c e. J E. d e. J ( t e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) <-> E. c e. J E. d e. J ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) )
119	118	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. t e. ( `' .- " u ) E. c e. J E. d e. J ( t e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) -> ( <. a , b >. e. ( `' .- " u ) -> E. c e. J E. d e. J ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) )
120	113, 119	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. t e. ( `' .- " u ) E. c e. J E. d e. J ( t e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) -> ( ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. u ) -> E. c e. J E. d e. J ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) )
121	96, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. u ) -> E. c e. J E. d e. J ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) )
122	66, 121	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. u -> E. c e. J E. d e. J ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) )
123		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> G e. TopGrp )
124	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> Y e. (NrmSGrp ` G ) )
125		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> c e. J )
126	1, 5, 13, 14, 7	qustgpopn 21923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ c e. J ) -> ( F " c ) e. K )
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( F " c ) e. K )
128		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> d e. J )
129	1, 5, 13, 14, 7	qustgpopn 21923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ d e. J ) -> ( F " d ) e. K )
130	123, 124, 128, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( F " d ) e. K )
131	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> a e. X )
132		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = a -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ a ] ( G ~QG Y ) )
133	132, 7, 79	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a e. X -> ( F ` a ) = [ a ] ( G ~QG Y ) )
134	131, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( F ` a ) = [ a ] ( G ~QG Y ) )
135	123, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
136		toponss 20731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ c e. J ) -> c C_ X )
137	135, 125, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> c C_ X )
138		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( a e. c /\ b e. d ) )
139	138	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> a e. c )
140		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F Fn X /\ c C_ X /\ a e. c ) -> ( F ` a ) e. ( F " c ) )
141	80, 140	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c C_ X /\ a e. c ) -> ( F ` a ) e. ( F " c ) )
142	137, 139, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( F ` a ) e. ( F " c ) )
143	134, 142	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> [ a ] ( G ~QG Y ) e. ( F " c ) )
144	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> b e. X )
145		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = b -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ b ] ( G ~QG Y ) )
146	145, 7, 79	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b e. X -> ( F ` b ) = [ b ] ( G ~QG Y ) )
147	144, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( F ` b ) = [ b ] ( G ~QG Y ) )
148		toponss 20731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ d e. J ) -> d C_ X )
149	135, 128, 148	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> d C_ X )
150	138	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> b e. d )
151		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F Fn X /\ d C_ X /\ b e. d ) -> ( F ` b ) e. ( F " d ) )
152	80, 151	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( d C_ X /\ b e. d ) -> ( F ` b ) e. ( F " d ) )
153	149, 150, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. ( F " d ) )
154	147, 153	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> [ b ] ( G ~QG Y ) e. ( F " d ) )
155		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( [ a ] ( G ~QG Y ) e. ( F " c ) /\ [ b ] ( G ~QG Y ) e. ( F " d ) ) -> <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) )
156	143, 154, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) )
157	137	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ p e. c ) -> p e. X )
158	149	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ q e. d ) -> q e. X )
159	157, 158	anim12dan 882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( p e. X /\ q e. X ) )
160		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = p -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ p ] ( G ~QG Y ) )
161	160, 7, 79	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. X -> ( F ` p ) = [ p ] ( G ~QG Y ) )
162		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = q -> [ x ] ( G ~QG Y ) = [ q ] ( G ~QG Y ) )
163	162, 7, 79	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( q e. X -> ( F ` q ) = [ q ] ( G ~QG Y ) )
164		opeq12 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( F ` p ) = [ p ] ( G ~QG Y ) /\ ( F ` q ) = [ q ] ( G ~QG Y ) ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. = <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. )
165	161, 163, 164	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( p e. X /\ q e. X ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. = <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. )
166	159, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. = <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. )
167	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> Y e. (NrmSGrp ` G ) )
168	1, 5, 24	quseccl 17650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ p e. X ) -> [ p ] ( G ~QG Y ) e. ( Base ` H ) )
169	1, 5, 24	quseccl 17650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ q e. X ) -> [ q ] ( G ~QG Y ) e. ( Base ` H ) )
170	168, 169	anim12dan 882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( p e. X /\ q e. X ) ) -> ( [ p ] ( G ~QG Y ) e. ( Base ` H ) /\ [ q ] ( G ~QG Y ) e. ( Base ` H ) ) )
171	167, 159, 170	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( [ p ] ( G ~QG Y ) e. ( Base ` H ) /\ [ q ] ( G ~QG Y ) e. ( Base ` H ) ) )
172		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( [ p ] ( G ~QG Y ) e. ( Base ` H ) /\ [ q ] ( G ~QG Y ) e. ( Base ` H ) ) -> <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
174	1, 5, 61, 27	qussub 17654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ p e. X /\ q e. X ) -> ( [ p ] ( G ~QG Y ) ( -g ` H ) [ q ] ( G ~QG Y ) ) = [ ( p ( -g ` G ) q ) ] ( G ~QG Y ) )
175	174	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Y e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( p e. X /\ q e. X ) ) -> ( [ p ] ( G ~QG Y ) ( -g ` H ) [ q ] ( G ~QG Y ) ) = [ ( p ( -g ` G ) q ) ] ( G ~QG Y ) )
176	167, 159, 175	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( [ p ] ( G ~QG Y ) ( -g ` H ) [ q ] ( G ~QG Y ) ) = [ ( p ( -g ` G ) q ) ] ( G ~QG Y ) )
177		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( z = p /\ w = q ) -> ( z ( -g ` G ) w ) = ( p ( -g ` G ) q ) )
178	177	eceq1d 7783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z = p /\ w = q ) -> [ ( z ( -g ` G ) w ) ] ( G ~QG Y ) = [ ( p ( -g ` G ) q ) ] ( G ~QG Y ) )
179		ecexg 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( G ~QG Y ) e. _V -> [ ( p ( -g ` G ) q ) ] ( G ~QG Y ) e. _V )
180	8, 179	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- [ ( p ( -g ` G ) q ) ] ( G ~QG Y ) e. _V
181	178, 67, 180	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( p e. X /\ q e. X ) -> ( p .- q ) = [ ( p ( -g ` G ) q ) ] ( G ~QG Y ) )
182	159, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( p .- q ) = [ ( p ( -g ` G ) q ) ] ( G ~QG Y ) )
183	176, 182	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( [ p ] ( G ~QG Y ) ( -g ` H ) [ q ] ( G ~QG Y ) ) = ( p .- q ) )
184		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( [ p ] ( G ~QG Y ) ( -g ` H ) [ q ] ( G ~QG Y ) ) = ( ( -g ` H ) ` <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. )
185		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( p .- q ) = ( .- ` <. p , q >. )
186	183, 184, 185	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( ( -g ` H ) ` <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. ) = ( .- ` <. p , q >. ) )
187		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( p e. c /\ q e. d ) -> <. p , q >. e. ( c X. d ) )
188		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) )
189	188	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ <. p , q >. e. ( c X. d ) ) -> <. p , q >. e. ( `' .- " u ) )
190	187, 189	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> <. p , q >. e. ( `' .- " u ) )
191		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( .- Fn ( X X. X ) -> ( <. p , q >. e. ( `' .- " u ) <-> ( <. p , q >. e. ( X X. X ) /\ ( .- ` <. p , q >. ) e. u ) ) )
192	99, 191	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( <. p , q >. e. ( `' .- " u ) <-> ( <. p , q >. e. ( X X. X ) /\ ( .- ` <. p , q >. ) e. u ) )
193	192	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( <. p , q >. e. ( `' .- " u ) -> ( .- ` <. p , q >. ) e. u )
194	190, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( .- ` <. p , q >. ) e. u )
195	186, 194	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( ( -g ` H ) ` <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. ) e. u )
196	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( -g ` H ) Fn ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
197	196	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( -g ` H ) Fn ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) )
198		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -g ` H ) Fn ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) -> ( <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> ( <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) /\ ( ( -g ` H ) ` <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. ) e. u ) ) )
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> ( <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> ( <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) /\ ( ( -g ` H ) ` <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. ) e. u ) ) )
200	173, 195, 199	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> <. [ p ] ( G ~QG Y ) , [ q ] ( G ~QG Y ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) )
201	166, 200	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) /\ ( p e. c /\ q e. d ) ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) )
202	201	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> A. p e. c A. q e. d <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) )
203		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = ( F ` p ) -> <. z , w >. = <. ( F ` p ) , w >. )
204	203	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = ( F ` p ) -> ( <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> <. ( F ` p ) , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
205	204	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = ( F ` p ) -> ( A. w e. ( F " d ) <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. w e. ( F " d ) <. ( F ` p ) , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
206	205	ralima 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F Fn X /\ c C_ X ) -> ( A. z e. ( F " c ) A. w e. ( F " d ) <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. p e. c A. w e. ( F " d ) <. ( F ` p ) , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
207	80, 206	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( c C_ X -> ( A. z e. ( F " c ) A. w e. ( F " d ) <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. p e. c A. w e. ( F " d ) <. ( F ` p ) , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
208		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w = ( F ` q ) -> <. ( F ` p ) , w >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. )
209	208	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w = ( F ` q ) -> ( <. ( F ` p ) , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
210	209	ralima 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F Fn X /\ d C_ X ) -> ( A. w e. ( F " d ) <. ( F ` p ) , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. q e. d <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
211	80, 210	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d C_ X -> ( A. w e. ( F " d ) <. ( F ` p ) , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. q e. d <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
212	211	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d C_ X -> ( A. p e. c A. w e. ( F " d ) <. ( F ` p ) , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. p e. c A. q e. d <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
213	207, 212	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c C_ X /\ d C_ X ) -> ( A. z e. ( F " c ) A. w e. ( F " d ) <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. p e. c A. q e. d <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
214	137, 149, 213	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( A. z e. ( F " c ) A. w e. ( F " d ) <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. p e. c A. q e. d <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
215	202, 214	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> A. z e. ( F " c ) A. w e. ( F " d ) <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) )
216		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. y e. ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) y e. ( `' ( -g ` H ) " u ) )
217		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = <. z , w >. -> ( y e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
218	217	ralxp 5263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) y e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. z e. ( F " c ) A. w e. ( F " d ) <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) )
219	216, 218	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> A. z e. ( F " c ) A. w e. ( F " d ) <. z , w >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) )
220	215, 219	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) )
221		xpeq1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( r = ( F " c ) -> ( r X. s ) = ( ( F " c ) X. s ) )
222	221	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r = ( F " c ) -> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) <-> <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. s ) ) )
223	221	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r = ( F " c ) -> ( ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> ( ( F " c ) X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
224	222, 223	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r = ( F " c ) -> ( ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) <-> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. s ) /\ ( ( F " c ) X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
225		xpeq2 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s = ( F " d ) -> ( ( F " c ) X. s ) = ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) )
226	225	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = ( F " d ) -> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. s ) <-> <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) ) )
227	225	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = ( F " d ) -> ( ( ( F " c ) X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
228	226, 227	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = ( F " d ) -> ( ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. s ) /\ ( ( F " c ) X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) <-> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) /\ ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
229	224, 228	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F " c ) e. K /\ ( F " d ) e. K /\ ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) /\ ( ( F " c ) X. ( F " d ) ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
230	127, 130, 156, 220, 229	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( ( c e. J /\ d e. J ) /\ ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) ) ) -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
231	230	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
232	231	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( E. c e. J E. d e. J ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( `' .- " u ) ) -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
233	122, 232	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( [ ( a ( -g ` G ) b ) ] ( G ~QG Y ) e. u -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
234	65, 233	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( -g ` H ) ` <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. ) e. u -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
235	234	adantld 483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) /\ ( ( -g ` H ) ` <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. ) e. u ) -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
236	56, 235	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
237		opeq12 4404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) -> <. x , y >. = <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. )
238	237	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) <-> <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
239	237	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) -> ( <. x , y >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } <-> <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } ) )
240		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. _V
241		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. -> ( w e. ( r X. s ) <-> <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) ) )
242	241	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. -> ( ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) <-> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
243	242	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. -> ( E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) <-> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
244	240, 243	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } <-> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
245	239, 244	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) -> ( <. x , y >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } <-> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
246	238, 245	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> <. x , y >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } ) <-> ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> E. r e. K E. s e. K ( <. [ a ] ( G ~QG Y ) , [ b ] ( G ~QG Y ) >. e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) ) )
247	236, 246	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> <. x , y >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } ) ) )
248	247	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( E. a e. X E. b e. X ( x = [ a ] ( G ~QG Y ) /\ y = [ b ] ( G ~QG Y ) ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> <. x , y >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } ) ) )
249	51, 248	sylbird 250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( <. x , y >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> <. x , y >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } ) ) )
250	249	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> ( <. x , y >. e. ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) -> <. x , y >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } ) ) )
251	38, 250	mpdd 43	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( -g ` H ) " u ) -> <. x , y >. e. { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } ) )
252	37, 251	relssdv 5212	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( `' ( -g ` H ) " u ) C_ { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } )
253		ssabral 3673	. . . . . 6 |- ( ( `' ( -g ` H ) " u ) C_ { w | E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) } <-> A. w e. ( `' ( -g ` H ) " u ) E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
254	252, 253	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> A. w e. ( `' ( -g ` H ) " u ) E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) )
255		eltx 21371	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) /\ K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) ) -> ( ( `' ( -g ` H ) " u ) e. ( K tX K ) <-> A. w e. ( `' ( -g ` H ) " u ) E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
256	23, 23, 255	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( ( `' ( -g ` H ) " u ) e. ( K tX K ) <-> A. w e. ( `' ( -g ` H ) " u ) E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
257	256	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( ( `' ( -g ` H ) " u ) e. ( K tX K ) <-> A. w e. ( `' ( -g ` H ) " u ) E. r e. K E. s e. K ( w e. ( r X. s ) /\ ( r X. s ) C_ ( `' ( -g ` H ) " u ) ) ) )
258	254, 257	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ u e. K ) -> ( `' ( -g ` H ) " u ) e. ( K tX K ) )
259	258	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> A. u e. K ( `' ( -g ` H ) " u ) e. ( K tX K ) )
260		txtopon 21394	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) /\ K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) ) )
261	23, 23, 260	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) ) )
262		iscn 21039	. . . 4 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) ) /\ K e. (TopOn ` ( Base ` H ) ) ) -> ( ( -g ` H ) e. ( ( K tX K ) Cn K ) <-> ( ( -g ` H ) : ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) --> ( Base ` H ) /\ A. u e. K ( `' ( -g ` H ) " u ) e. ( K tX K ) ) ) )
263	261, 23, 262	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( ( -g ` H ) e. ( ( K tX K ) Cn K ) <-> ( ( -g ` H ) : ( ( Base ` H ) X. ( Base ` H ) ) --> ( Base ` H ) /\ A. u e. K ( `' ( -g ` H ) " u ) e. ( K tX K ) ) ) )
264	29, 259, 263	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( -g ` H ) e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
265	14, 27	istgp2 21895	. 2 |- ( H e. TopGrp <-> ( H e. Grp /\ H e. TopSp /\ ( -g ` H ) e. ( ( K tX K ) Cn K ) ) )
266	3, 26, 264, 265	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( G e. TopGrp /\ Y e. (NrmSGrp ` G ) ) -> H e. TopGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   [cec 7740   /.cqs 7741   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   qTop cqtop 16163   /._s cqus 16165   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  NrmSGrpcnsg 17589   ~_QG cqg 17590  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-oppg 17776  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-tmd 21876  df-tgp 21877

This theorem is referenced by:  qustgp  21925