Theorem ngptgp 22440

Description: A normed abelian group is a topological group (with the topology induced by the metric induced by the norm). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngptgp	|- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> G e. TopGrp )

Proof of Theorem ngptgp

Dummy variables u r v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 22403	. . 3 |- ( G e. NrmGrp -> G e. Grp )
2	1	adantr 481	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> G e. Grp )
3		ngpms 22404	. . . 4 |- ( G e. NrmGrp -> G e. MetSp )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> G e. MetSp )
5		mstps 22260	. . 3 |- ( G e. MetSp -> G e. TopSp )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> G e. TopSp )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
9	7, 8	grpsubf 17494	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( -g ` G ) : ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) --> ( Base ` G ) )
10	2, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> ( -g ` G ) : ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) --> ( Base ` G ) )
11		rphalfcl 11858	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR+ -> ( z / 2 ) e. RR+ )
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( z / 2 ) e. RR+ )
13		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) )
14	13, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> G e. MetSp )
15		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
17		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> u e. ( Base ` G ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
19	7, 18	mscl 22266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. MetSp /\ x e. ( Base ` G ) /\ u e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( dist ` G ) u ) e. RR )
20	14, 16, 17, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( dist ` G ) u ) e. RR )
21	15	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
22		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> v e. ( Base ` G ) )
23	7, 18	mscl 22266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. MetSp /\ y e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) -> ( y ( dist ` G ) v ) e. RR )
24	14, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( y ( dist ` G ) v ) e. RR )
25		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR+ -> z e. RR )
26	25	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> z e. RR )
27		lt2halves 11267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x ( dist ` G ) u ) e. RR /\ ( y ( dist ` G ) v ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( x ( dist ` G ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( dist ` G ) v ) < ( z / 2 ) ) -> ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) < z ) )
28	20, 24, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( x ( dist ` G ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( dist ` G ) v ) < ( z / 2 ) ) -> ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) < z ) )
29	13, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> G e. Grp )
30	7, 8	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( -g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
31	29, 16, 21, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( -g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
32	7, 8	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) -> ( u ( -g ` G ) v ) e. ( Base ` G ) )
33	29, 17, 22, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( u ( -g ` G ) v ) e. ( Base ` G ) )
34	7, 8	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ u e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( u ( -g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
35	29, 17, 21, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( u ( -g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
36	7, 18	mstri 22274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. MetSp /\ ( ( x ( -g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ ( u ( -g ` G ) v ) e. ( Base ` G ) /\ ( u ( -g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) <_ ( ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) y ) ) + ( ( u ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) ) )
37	14, 31, 33, 35, 36	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) <_ ( ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) y ) ) + ( ( u ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) ) )
38	13	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> G e. NrmGrp )
39	7, 8, 18	ngpsubcan 22418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. NrmGrp /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ u e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) y ) ) = ( x ( dist ` G ) u ) )
40	38, 16, 17, 21, 39	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) y ) ) = ( x ( dist ` G ) u ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
43	7, 41, 42, 8	grpsubval 17465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( u ( -g ` G ) y ) = ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
44	17, 21, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( u ( -g ` G ) y ) = ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
45	7, 41, 42, 8	grpsubval 17465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) -> ( u ( -g ` G ) v ) = ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( u ( -g ` G ) v ) = ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) )
47	44, 46	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( u ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) = ( ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( dist ` G ) ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) ) )
48	7, 42	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. ( Base ` G ) )
49	29, 21, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. ( Base ` G ) )
50	7, 42	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ v e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` v ) e. ( Base ` G ) )
51	29, 22, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( invg ` G ) ` v ) e. ( Base ` G ) )
52	7, 41, 18	ngplcan 22415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. ( Base ` G ) /\ ( ( invg ` G ) ` v ) e. ( Base ` G ) /\ u e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( dist ` G ) ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( dist ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) )
53	13, 49, 51, 17, 52	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( dist ` G ) ( u ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( dist ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) )
54	7, 42, 18	ngpinvds 22417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( dist ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) = ( y ( dist ` G ) v ) )
55	13, 21, 22, 54	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( dist ` G ) ( ( invg ` G ) ` v ) ) = ( y ( dist ` G ) v ) )
56	47, 53, 55	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( u ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) = ( y ( dist ` G ) v ) )
57	40, 56	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) y ) ) + ( ( u ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) ) = ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) )
58	37, 57	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) <_ ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) )
59	7, 18	mscl 22266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. MetSp /\ ( x ( -g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ ( u ( -g ` G ) v ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) e. RR )
60	14, 31, 33, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) e. RR )
61	20, 24	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) e. RR )
62		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) e. RR /\ ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) <_ ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) /\ ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) < z ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
63	60, 61, 26, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) <_ ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) /\ ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) < z ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
64	58, 63	mpand 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( x ( dist ` G ) u ) + ( y ( dist ` G ) v ) ) < z -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
65	28, 64	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( x ( dist ` G ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( dist ` G ) v ) < ( z / 2 ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
66	16, 17	ovresd 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) = ( x ( dist ` G ) u ) )
67	66	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) <-> ( x ( dist ` G ) u ) < ( z / 2 ) ) )
68	21, 22	ovresd 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) = ( y ( dist ` G ) v ) )
69	68	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) <-> ( y ( dist ` G ) v ) < ( z / 2 ) ) )
70	67, 69	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) ) <-> ( ( x ( dist ` G ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( dist ` G ) v ) < ( z / 2 ) ) ) )
71	31, 33	ovresd 6801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) = ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) )
72	71	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z <-> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( dist ` G ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
73	65, 70, 72	3imtr4d 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( u e. ( Base ` G ) /\ v e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
74	73	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) -> A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
75		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( z / 2 ) -> ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r <-> ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) ) )
76		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( z / 2 ) -> ( ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r <-> ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) ) )
77	75, 76	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( z / 2 ) -> ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) <-> ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) ) ) )
78	77	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( z / 2 ) -> ( ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) <-> ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) ) )
79	78	2ralbidv 2989	. . . . . . . 8 |- ( r = ( z / 2 ) -> ( A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) <-> A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) ) )
80	79	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( z / 2 ) e. RR+ /\ A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < ( z / 2 ) /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < ( z / 2 ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) ) -> E. r e. RR+ A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
81	12, 74, 80	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. r e. RR+ A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
82	81	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
83	82	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) )
84		msxms 22259	. . . . . 6 |- ( G e. MetSp -> G e. *MetSp )
85		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) = ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) )
86	7, 85	xmsxmet 22261	. . . . . 6 |- ( G e. *MetSp -> ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` G ) ) )
87	4, 84, 86	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` G ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) )
89	88, 88, 88	txmetcn 22353	. . . . 5 |- ( ( ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` G ) ) /\ ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` G ) ) /\ ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` G ) ) ) -> ( ( -g ` G ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) <-> ( ( -g ` G ) : ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) --> ( Base ` G ) /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) ) ) )
90	87, 87, 87, 89	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> ( ( -g ` G ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) <-> ( ( -g ` G ) : ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) --> ( Base ` G ) /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. u e. ( Base ` G ) A. v e. ( Base ` G ) ( ( ( x ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) u ) < r /\ ( y ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) v ) < r ) -> ( ( x ( -g ` G ) y ) ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ( u ( -g ` G ) v ) ) < z ) ) ) )
91	10, 83, 90	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> ( -g ` G ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) )
92		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
93	92, 7, 85	mstopn 22257	. . . . . 6 |- ( G e. MetSp -> ( TopOpen ` G ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) )
94	4, 93	syl 17	. . . . 5 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> ( TopOpen ` G ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) )
95	94, 94	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) )
96	95, 94	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( TopOpen ` G ) ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` G ) |` ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) ) ) ) )
97	91, 96	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> ( -g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( TopOpen ` G ) ) )
98	92, 8	istgp2 21895	. 2 |- ( G e. TopGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. TopSp /\ ( -g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( TopOpen ` G ) ) ) )
99	2, 6, 97, 98	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) -> G e. TopGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   Abelcabl 18194   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   TopSpctps 20736   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   TopGrpctgp 21875   *MetSpcxme 22122   MetSpcmt 22123  NrmGrpcngp 22382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388

This theorem is referenced by:  nrgtgp  22476  nlmtlm  22498