cvlsupr2 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem cvlsupr2 34630

Description: Two equivalent ways of expressing that

is a superposition of

and

. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvlsupr2.a
cvlsupr2.l
cvlsupr2.j	$.\/$

**Assertion**
Ref	Expression
cvlsupr2	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$

**Proof of Theorem cvlsupr2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1066	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
2	1	necomd 2849	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
3		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
4		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 $.\/$ $.\/$
5		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 $.\/$ $.\/$
6	4, 5	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
7		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
8	6, 7	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
10	3, 9	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
11		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
12		cvllat 34613	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
14		simpl21 1139	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
16		cvlsupr2.a	. . . . . . . . . . . 12
17	15, 16	atbase 34576	. . . . . . . . . . 11
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
19		cvlsupr2.j	. . . . . . . . . . 11 $.\/$
20	15, 19	latjidm 17074	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$
21	13, 18, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
23	10, 22	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
24	23	ex 450	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
25		simpl22 1140	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
26	15, 16	atbase 34576	. . . . . . . . 9
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
28		cvlsupr2.l	. . . . . . . . 9
29	15, 28, 19	latleeqj1 17063	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
30	13, 27, 18, 29	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
31		cvlatl 34612	. . . . . . . . 9
32	11, 31	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
33	28, 16	atcmp 34598	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34	32, 25, 14, 33	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
35	30, 34	bitr3d 270	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
36	24, 35	sylibd 229	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
37	36	necon3d 2815	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
38	2, 37	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
39		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
40		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $.\/$
41		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $.\/$
42	40, 41	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
43	42	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
44	39, 43	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
45	15, 19	latjidm 17074	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$
46	13, 27, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
48	44, 47	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
49	48	ex 450	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
50	15, 28, 19	latleeqj1 17063	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
51	13, 18, 27, 50	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
52	28, 16	atcmp 34598	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
53	32, 14, 25, 52	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
54	51, 53	bitr3d 270	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
55	49, 54	sylibd 229	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
56	55	necon3d 2815	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
57	1, 56	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
58		simpl23 1141	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
59	15, 16	atbase 34576	. . . . . . 7
60	58, 59	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
61	15, 28, 19	latlej1 17060	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $.\/$
62	13, 27, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
63		simpr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
64	62, 63	breqtrrd 4681	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
65	28, 19, 16	cvlatexch1 34623	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
66	11, 25, 58, 14, 2, 65	syl131anc 1339	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
67	64, 66	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
68	38, 57, 67	3jca 1242	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
69		simpr3 1069	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
70		simpl1 1064	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
71	70, 12	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
72		simpl21 1139	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
73	72, 17	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
74		simpl22 1140	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
75	74, 26	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
76	15, 19	latjcom 17059	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
77	71, 73, 75, 76	syl3anc 1326	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
78	77	breq2d 4665	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
79		simpl23 1141	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
80		simpr2 1068	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
81	28, 19, 16	cvlatexch1 34623	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
82	70, 79, 72, 74, 80, 81	syl131anc 1339	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
83		simpr1 1067	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
84	83	necomd 2849	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
85	28, 19, 16	cvlatexchb2 34622	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
86	70, 72, 74, 79, 84, 85	syl131anc 1339	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
87	82, 86	sylibd 229	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
88	78, 87	sylbid 230	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
89	69, 88	mpd 15	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
90	68, 89	impbida 877	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cjn 16944

clat 17045

catm 34550

cal 34551

clc 34552

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-lat 17046 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609

This theorem is referenced by: cvlsupr3 34631 cvlsupr4 34632 cvlsupr5 34633 cvlsupr6 34634 4atexlemex2 35357 4atex 35362 4atex3 35367 cdleme02N 35509 cdleme0ex2N 35511 cdleme0moN 35512 cdleme0nex 35577

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