Theorem limsupre2mpt 39962

Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupre2mpt.p	|- F/ x ph
limsupre2mpt.a	|- ( ph -> A C_ RR )
limsupre2mpt.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
limsupre2mpt	|- ( ph -> ( ( limsup ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR <-> ( E. y e. RR A. k e. RR E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) /\ E. y e. RR E. k e. RR A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   B, k, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, k)   B( x)

Proof of Theorem limsupre2mpt

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 4747	. . 3 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
2		limsupre2mpt.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
3		limsupre2mpt.p	. . . 4 |- F/ x ph
4		limsupre2mpt.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
5	3, 4	fmptd2f 39442	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR* )
6	1, 2, 5	limsupre2 39957	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR <-> ( E. w e. RR A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) /\ E. w e. RR E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) < w ) ) ) )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
9	8, 4	fvmpt2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
10	9	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( w < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> w < B ) )
11	10	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( j <_ x /\ w < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) <-> ( j <_ x /\ w < B ) ) )
12	3, 11	rexbida 3047	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. A ( j <_ x /\ w < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) <-> E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) ) )
13	12	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ph -> ( A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) <-> A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) ) )
14	13	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) <-> E. w e. RR A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) ) )
15	9	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) < w <-> B < w ) )
16	15	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( j <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) < w ) <-> ( j <_ x -> B < w ) ) )
17	3, 16	ralbida 2982	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. A ( j <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) < w ) <-> A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) ) )
18	17	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) < w ) <-> E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) ) )
19	18	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. w e. RR E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) < w ) <-> E. w e. RR E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) ) )
20	14, 19	anbi12d 747	. 2 |- ( ph -> ( ( E. w e. RR A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) /\ E. w e. RR E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) < w ) ) <-> ( E. w e. RR A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) /\ E. w e. RR E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) ) ) )
21		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w < B <-> y < B ) )
22	21	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( j <_ x /\ w < B ) <-> ( j <_ x /\ y < B ) ) )
23	22	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) <-> E. x e. A ( j <_ x /\ y < B ) ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) <-> A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ y < B ) ) )
25		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j <_ x <-> k <_ x ) )
26	25	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( j <_ x /\ y < B ) <-> ( k <_ x /\ y < B ) ) )
27	26	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( E. x e. A ( j <_ x /\ y < B ) <-> E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) ) )
28	27	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ y < B ) <-> A. k e. RR E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) )
29	28	a1i 11	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ y < B ) <-> A. k e. RR E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) ) )
30	24, 29	bitrd 268	. . . . 5 |- ( w = y -> ( A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) <-> A. k e. RR E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) ) )
31	30	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. w e. RR A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) <-> E. y e. RR A. k e. RR E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) )
32		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( B < w <-> B < y ) )
33	32	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( j <_ x -> B < w ) <-> ( j <_ x -> B < y ) ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) <-> A. x e. A ( j <_ x -> B < y ) ) )
35	34	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) <-> E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < y ) ) )
36	25	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( j <_ x -> B < y ) <-> ( k <_ x -> B < y ) ) )
37	36	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( A. x e. A ( j <_ x -> B < y ) <-> A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) ) )
38	37	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < y ) <-> E. k e. RR A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) )
39	38	a1i 11	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < y ) <-> E. k e. RR A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) ) )
40	35, 39	bitrd 268	. . . . 5 |- ( w = y -> ( E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) <-> E. k e. RR A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) ) )
41	40	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. w e. RR E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) <-> E. y e. RR E. k e. RR A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) )
42	31, 41	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( E. w e. RR A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) /\ E. w e. RR E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) ) <-> ( E. y e. RR A. k e. RR E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) /\ E. y e. RR E. k e. RR A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) ) )
43	42	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( E. w e. RR A. j e. RR E. x e. A ( j <_ x /\ w < B ) /\ E. w e. RR E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> B < w ) ) <-> ( E. y e. RR A. k e. RR E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) /\ E. y e. RR E. k e. RR A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) ) ) )
44	6, 20, 43	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR <-> ( E. y e. RR A. k e. RR E. x e. A ( k <_ x /\ y < B ) /\ E. y e. RR E. k e. RR A. x e. A ( k <_ x -> B < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181  df-limsup 14202

This theorem is referenced by: (None)