Theorem lspdisjb 19126

Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisjb.v	|- V = ( Base ` W )
lspdisjb.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspdisjb.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspdisjb.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspdisjb.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lspdisjb.u	|- ( ph -> U e. S )
lspdisjb.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Assertion

Ref	Expression
lspdisjb	|- ( ph -> ( -. X e. U <-> ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } ) )

Proof of Theorem lspdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisjb.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspdisjb.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
3		lspdisjb.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4		lspdisjb.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
5		lspdisjb.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LVec )
6	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X e. U ) -> W e. LVec )
7		lspdisjb.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. S )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X e. U ) -> U e. S )
9		lspdisjb.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
10	9	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
11	10	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X e. U ) -> X e. V )
12		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X e. U ) -> -. X e. U )
13	1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12	lspdisj 19125	. 2 |- ( ( ph /\ -. X e. U ) -> ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } )
14		eldifsni 4320	. . . . 5 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) -> X =/= .0. )
15	9, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X =/= .0. )
16	15	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } ) -> X =/= .0. )
17		lveclmod 19106	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
19	1, 3	lspsnid 18993	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
20	18, 10, 19	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( N ` { X } ) )
21		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( X e. ( ( N ` { X } ) i^i U ) <-> ( X e. ( N ` { X } ) /\ X e. U ) )
22		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } -> ( X e. ( ( N ` { X } ) i^i U ) <-> X e. { .0. } ) )
23		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( X e. { .0. } -> X = .0. )
24	22, 23	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } -> ( X e. ( ( N ` { X } ) i^i U ) -> X = .0. ) )
25	21, 24	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } -> ( ( X e. ( N ` { X } ) /\ X e. U ) -> X = .0. ) )
26	25	expd 452	. . . . 5 |- ( ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } -> ( X e. ( N ` { X } ) -> ( X e. U -> X = .0. ) ) )
27	20, 26	mpan9 486	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } ) -> ( X e. U -> X = .0. ) )
28	27	necon3ad 2807	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } ) -> ( X =/= .0. -> -. X e. U ) )
29	16, 28	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } ) -> -. X e. U )
30	13, 29	impbida 877	1 |- ( ph -> ( -. X e. U <-> ( ( N ` { X } ) i^i U ) = { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   i^i cin 3573   {csn 4177   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  37025  hdmap1l6b0N  37100