Theorem lspabs3 19121

Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspabs2.v	|- V = ( Base ` W )
lspabs2.p	|- .+ = ( +g ` W )
lspabs2.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lspabs2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspabs2.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lspabs2.x	|- ( ph -> X e. V )
lspabs3.y	|- ( ph -> Y e. V )
lspabs3.xy	|- ( ph -> ( X .+ Y ) =/= .0. )
lspabs3.e	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lspabs3	|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( X .+ Y ) } ) )

Proof of Theorem lspabs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		lspabs2.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
3		lspabs2.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LVec )
4		lveclmod 19106	. . . . . 6 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
6		lspabs2.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
7		lspabs2.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
8	7, 1, 2	lspsncl 18977	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
9	5, 6, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
10		lspabs3.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. V )
11	7, 1, 2	lspsncl 18977	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
12	5, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W )
14	1, 13	lsmcl 19083	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) /\ ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) e. ( LSubSp ` W ) )
15	5, 9, 12, 14	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	7, 2	lspsnsubg 18980	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) )
17	5, 6, 16	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) )
18		lspabs3.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) )
19	18, 17	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. (SubGrp ` W ) )
20	7, 2	lspsnid 18993	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
21	5, 6, 20	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( N ` { X } ) )
22	7, 2	lspsnid 18993	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> Y e. ( N ` { Y } ) )
23	5, 10, 22	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( N ` { Y } ) )
24		lspabs2.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` W )
25	24, 13	lsmelvali 18065	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) /\ ( N ` { Y } ) e. (SubGrp ` W ) ) /\ ( X e. ( N ` { X } ) /\ Y e. ( N ` { Y } ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) )
26	17, 19, 21, 23, 25	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) )
27	1, 2, 5, 15, 26	lspsnel5a 18996	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) )
28	18	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { X } ) ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) )
29	13	lsmidm 18077	. . . . . 6 |- ( ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { X } ) ) = ( N ` { X } ) )
30	17, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { X } ) ) = ( N ` { X } ) )
31	28, 30	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) = ( N ` { X } ) )
32	27, 31	sseqtrd 3641	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
33		lspabs2.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
34	7, 24	lmodvacl 18877	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) e. V )
35	5, 6, 10, 34	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. V )
36		lspabs3.xy	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .+ Y ) =/= .0. )
37		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( ( X .+ Y ) e. ( V \ { .0. } ) <-> ( ( X .+ Y ) e. V /\ ( X .+ Y ) =/= .0. ) )
38	35, 36, 37	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( V \ { .0. } ) )
39	7, 33, 2, 3, 38, 6	lspsncmp 19116	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( N ` { X } ) <-> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) = ( N ` { X } ) ) )
40	32, 39	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) = ( N ` { X } ) )
41	40	eqcomd 2628	1 |- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { ( X .+ Y ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588   LSSumclsm 18049   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by: (None)