Theorem lsmelval2 19085

Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelval2.v	|- V = ( Base ` W )
lsmelval2.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lsmelval2.p	|- .(+) = ( LSSum ` W )
lsmelval2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lsmelval2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lsmelval2.t	|- ( ph -> T e. S )
lsmelval2.u	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lsmelval2	|- ( ph -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> ( X e. V /\ E. y e. T E. z e. U ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, z, .(+)   y, T, z   y, U, z   y, V, z   y, W, z   y, X, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   S( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem lsmelval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelval2.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lsmelval2.t	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. S )
3		lsmelval2.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
4	3	lsssubg 18957	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T e. S ) -> T e. (SubGrp ` W ) )
5	1, 2, 4	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` W ) )
6		lsmelval2.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. S )
7	3	lsssubg 18957	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
8	1, 6, 7	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` W ) )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
10		lsmelval2.p	. . . . . 6 |- .(+) = ( LSSum ` W )
11	9, 10	lsmelval 18064	. . . . 5 |- ( ( T e. (SubGrp ` W ) /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> E. y e. T E. z e. U X = ( y ( +g ` W ) z ) ) )
12	5, 8, 11	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> E. y e. T E. z e. U X = ( y ( +g ` W ) z ) ) )
13	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> W e. LMod )
14	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> T e. S )
15		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> y e. T )
16		lsmelval2.v	. . . . . . . . . . . 12 |- V = ( Base ` W )
17	16, 3	lssel 18938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. S /\ y e. T ) -> y e. V )
18	14, 15, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> y e. V )
19		lsmelval2.n	. . . . . . . . . . 11 |- N = ( LSpan ` W )
20	16, 3, 19	lspsncl 18977	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ y e. V ) -> ( N ` { y } ) e. S )
21	13, 18, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( N ` { y } ) e. S )
22	3	lsssubg 18957	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { y } ) e. S ) -> ( N ` { y } ) e. (SubGrp ` W ) )
23	13, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( N ` { y } ) e. (SubGrp ` W ) )
24	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> U e. S )
25		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> z e. U )
26	16, 3	lssel 18938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. S /\ z e. U ) -> z e. V )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> z e. V )
28	16, 3, 19	lspsncl 18977	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ z e. V ) -> ( N ` { z } ) e. S )
29	13, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( N ` { z } ) e. S )
30	3	lsssubg 18957	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { z } ) e. S ) -> ( N ` { z } ) e. (SubGrp ` W ) )
31	13, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( N ` { z } ) e. (SubGrp ` W ) )
32	16, 19	lspsnid 18993	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ y e. V ) -> y e. ( N ` { y } ) )
33	13, 18, 32	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> y e. ( N ` { y } ) )
34	16, 19	lspsnid 18993	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ z e. V ) -> z e. ( N ` { z } ) )
35	13, 27, 34	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> z e. ( N ` { z } ) )
36	9, 10	lsmelvali 18065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N ` { y } ) e. (SubGrp ` W ) /\ ( N ` { z } ) e. (SubGrp ` W ) ) /\ ( y e. ( N ` { y } ) /\ z e. ( N ` { z } ) ) ) -> ( y ( +g ` W ) z ) e. ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) )
37	23, 31, 33, 35, 36	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( y ( +g ` W ) z ) e. ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) )
38		eleq1a 2696	. . . . . . 7 |- ( ( y ( +g ` W ) z ) e. ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) -> ( X = ( y ( +g ` W ) z ) -> X e. ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( X = ( y ( +g ` W ) z ) -> X e. ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) )
40	3, 10	lsmcl 19083	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { y } ) e. S /\ ( N ` { z } ) e. S ) -> ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) e. S )
41	13, 21, 29, 40	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) e. S )
42	16, 3, 19, 13, 41	lspsnel6 18994	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( X e. ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) ) )
43	39, 42	sylibd 229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( X = ( y ( +g ` W ) z ) -> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) ) )
44	43	reximdvva 3019	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. T E. z e. U X = ( y ( +g ` W ) z ) -> E. y e. T E. z e. U ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) ) )
45	12, 44	sylbid 230	. . 3 |- ( ph -> ( X e. ( T .(+) U ) -> E. y e. T E. z e. U ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) ) )
46	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> T e. (SubGrp ` W ) )
47	3, 19, 13, 14, 15	lspsnel5a 18996	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( N ` { y } ) C_ T )
48	10	lsmless1 18074	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. (SubGrp ` W ) /\ ( N ` { z } ) e. (SubGrp ` W ) /\ ( N ` { y } ) C_ T ) -> ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) C_ ( T .(+) ( N ` { z } ) ) )
49	46, 31, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) C_ ( T .(+) ( N ` { z } ) ) )
50	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
51	3, 19, 13, 24, 25	lspsnel5a 18996	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( N ` { z } ) C_ U )
52	10	lsmless2 18075	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. (SubGrp ` W ) /\ U e. (SubGrp ` W ) /\ ( N ` { z } ) C_ U ) -> ( T .(+) ( N ` { z } ) ) C_ ( T .(+) U ) )
53	46, 50, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( T .(+) ( N ` { z } ) ) C_ ( T .(+) U ) )
54	49, 53	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) C_ ( T .(+) U ) )
55	54	sseld 3602	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( X e. ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) -> X e. ( T .(+) U ) ) )
56	42, 55	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. T /\ z e. U ) ) -> ( ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) -> X e. ( T .(+) U ) ) )
57	56	rexlimdvva 3038	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. T E. z e. U ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) -> X e. ( T .(+) U ) ) )
58	45, 57	impbid 202	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> E. y e. T E. z e. U ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) ) )
59		r19.42v 3092	. . . 4 |- ( E. z e. U ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) <-> ( X e. V /\ E. z e. U ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) )
60	59	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. y e. T E. z e. U ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) <-> E. y e. T ( X e. V /\ E. z e. U ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) )
61		r19.42v 3092	. . 3 |- ( E. y e. T ( X e. V /\ E. z e. U ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) <-> ( X e. V /\ E. y e. T E. z e. U ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) )
62	60, 61	bitri 264	. 2 |- ( E. y e. T E. z e. U ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) <-> ( X e. V /\ E. y e. T E. z e. U ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) )
63	58, 62	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> ( X e. V /\ E. y e. T E. z e. U ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { y } ) .(+) ( N ` { z } ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  SubGrpcsubg 17588   LSSumclsm 18049   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  36717