Theorem mapen 8124

Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapen	|- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )

Proof of Theorem mapen

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 7964	. 2 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
2		bren 7964	. 2 |- ( C ~~ D <-> E. g g : C -1-1-onto-> D )
3		eeanv 2182	. . 3 |- ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) <-> ( E. f f : A -1-1-onto-> B /\ E. g g : C -1-1-onto-> D ) )
4		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) e. _V )
5		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( B ^m D ) e. _V )
6		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A ^m C ) -> x : C --> A )
7		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> f : A --> B )
9		fco 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> B /\ x : C --> A ) -> ( f o. x ) : C --> B )
10	8, 9	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> ( f o. x ) : C --> B )
11		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> `' g : D -1-1-onto-> C )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' g : D -1-1-onto-> C )
13		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' g : D -1-1-onto-> C -> `' g : D --> C )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' g : D --> C )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> `' g : D --> C )
16		fco 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f o. x ) : C --> B /\ `' g : D --> C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
17	10, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
18	17	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x : C --> A -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
19	6, 18	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. ( A ^m C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
20		f1ofo 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> f : A -onto-> B )
22		forn 6118	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ran f = B )
24		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
25	24	rnex 7100	. . . . . . . 8 |- ran f e. _V
26	23, 25	syl6eqelr 2710	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> B e. _V )
27		f1ofo 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> g : C -onto-> D )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> g : C -onto-> D )
29		forn 6118	. . . . . . . . 9 |- ( g : C -onto-> D -> ran g = D )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ran g = D )
31		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
32	31	rnex 7100	. . . . . . . 8 |- ran g e. _V
33	30, 32	syl6eqelr 2710	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> D e. _V )
34	26, 33	elmapd 7871	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( ( f o. x ) o. `' g ) e. ( B ^m D ) <-> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
35	19, 34	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. ( A ^m C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) e. ( B ^m D ) ) )
36		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( y e. ( B ^m D ) -> y : D --> B )
37		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> `' f : B -1-1-onto-> A )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' f : B -1-1-onto-> A )
39		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' f : B -1-1-onto-> A -> `' f : B --> A )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' f : B --> A )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ y : D --> B ) -> `' f : B --> A )
42		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( y : D --> B -> y : D --> B )
43		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> g : C --> D )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> g : C --> D )
45		fco 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( y o. g ) : C --> B )
46	42, 44, 45	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ y : D --> B ) -> ( y o. g ) : C --> B )
47		fco 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f : B --> A /\ ( y o. g ) : C --> B ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
48	41, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ y : D --> B ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
49	48	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y : D --> B -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
50	36, 49	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. ( B ^m D ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
51		f1odm 6141	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> dom f = A )
52	51	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> dom f = A )
53	24	dmex 7099	. . . . . . . 8 |- dom f e. _V
54	52, 53	syl6eqelr 2710	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> A e. _V )
55		f1odm 6141	. . . . . . . . 9 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> dom g = C )
56	55	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> dom g = C )
57	31	dmex 7099	. . . . . . . 8 |- dom g e. _V
58	56, 57	syl6eqelr 2710	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> C e. _V )
59	54, 58	elmapd 7871	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( `' f o. ( y o. g ) ) e. ( A ^m C ) <-> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
60	50, 59	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. ( B ^m D ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) e. ( A ^m C ) ) )
61		coass 5654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) )
62		f1ococnv2 6163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( f o. `' f ) = ( _I |` B ) )
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. `' f ) = ( _I |` B ) )
64	63	coeq1d 5283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) )
65	46	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( y o. g ) : C --> B )
66		fcoi2 6079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : C --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
68	64, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
69	61, 68	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) = ( y o. g ) )
70	69	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) ) )
71		coass 5654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) )
72		f1ococnv1 6165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> ( `' g o. g ) = ( _I |` C ) )
73	72	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( `' g o. g ) = ( _I |` C ) )
74	73	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) )
75	10	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. x ) : C --> B )
76		fcoi1 6078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f o. x ) : C --> B -> ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) = ( f o. x ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) = ( f o. x ) )
78	74, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( f o. x ) )
79	71, 78	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( f o. x ) )
80	79	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> ( y o. g ) = ( f o. x ) ) )
81		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y o. g ) = ( f o. x ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) )
82	80, 81	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) ) )
83	70, 82	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) ) )
84		f1of1 6136	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -1-1-> B )
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> f : A -1-1-> B )
86		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> x : C --> A )
87	48	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
88		cocan1 6546	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ x : C --> A /\ ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' f o. ( y o. g ) ) ) )
89	85, 86, 87, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' f o. ( y o. g ) ) ) )
90	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> g : C -onto-> D )
91		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( y : D --> B -> y Fn D )
92	91	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> y Fn D )
93	17	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
94		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B -> ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D )
96		cocan2 6547	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : C -onto-> D /\ y Fn D /\ ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
97	90, 92, 95, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
98	83, 89, 97	3bitr3d 298	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
99	98	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x : C --> A /\ y : D --> B ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) ) )
100	6, 36, 99	syl2ani 688	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x e. ( A ^m C ) /\ y e. ( B ^m D ) ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) ) )
101	4, 5, 35, 60, 100	en3d 7992	. . . 4 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
102	101	exlimivv 1860	. . 3 |- ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
103	3, 102	sylbir 225	. 2 |- ( ( E. f f : A -1-1-onto-> B /\ E. g g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
104	1, 2, 103	syl2anb 496	1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-en 7956

This theorem is referenced by:  mapdom1  8125  mapdom2  8131  pwen  8133  mappwen  8935  mapcdaen  9006  cfpwsdom  9406  rpnnen  14956  rexpen  14957  enrelmap  38291