MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem rexpen 14957
Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that RR is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 8840 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen |- ( RR X. RR ) ~~ RR
Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 14956 . . . . . 6 |- RR ~~ ~P NN
2 nnenom 12779 . . . . . . 7 |- NN ~~ om
3 pwen 8133 . . . . . . 7 |- ( NN ~~ om -> ~P NN ~~ ~P om )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 |- ~P NN ~~ ~P om
51, 4entri 8010 . . . . 5 |- RR ~~ ~P om
6 omex 8540 . . . . . 6 |- om e. _V
76pw2en 8067 . . . . 5 |- ~P om ~~ ( 2o ^m om )
85, 7entri 8010 . . . 4 |- RR ~~ ( 2o ^m om )
9 xpen 8123 . . . 4 |- ( ( RR ~~ ( 2o ^m om ) /\ RR ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( RR X. RR ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
108, 8, 9mp2an 708 . . 3 |- ( RR X. RR ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
11 2onn 7720 . . . . . . . 8 |- 2o e. om
1211elexi 3213 . . . . . . 7 |- 2o e. _V
1312, 12, 6xpmapen 8128 . . . . . 6 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
1413ensymi 8006 . . . . 5 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( ( 2o X. 2o ) ^m om )
15 ssid 3624 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o C_ 2o
16 ssnnfi 8179 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ 2o C_ 2o ) -> 2o e. Fin )
1711, 15, 16mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. Fin
18 xpfi 8231 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. Fin /\ 2o e. Fin ) -> ( 2o X. 2o ) e. Fin )
1917, 17, 18mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2o X. 2o ) e. Fin
20 isfinite 8549 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2o X. 2o ) e. Fin <-> ( 2o X. 2o ) ~< om )
2119, 20mpbi 220 . . . . . . . . . 10 |- ( 2o X. 2o ) ~< om
226canth2 8113 . . . . . . . . . 10 |- om ~< ~P om
23 sdomtr 8098 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2o X. 2o ) ~< om /\ om ~< ~P om ) -> ( 2o X. 2o ) ~< ~P om )
2421, 22, 23mp2an 708 . . . . . . . . 9 |- ( 2o X. 2o ) ~< ~P om
25 sdomdom 7983 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2o X. 2o ) ~< ~P om -> ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om
27 domentr 8015 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om /\ ~P om ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
2826, 7, 27mp2an 708 . . . . . . 7 |- ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om )
29 mapdom1 8125 . . . . . . 7 |- ( ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om ) -> ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om )
31 mapxpen 8126 . . . . . . . 8 |- ( ( 2o e. om /\ om e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m ( om X. om ) ) )
3211, 6, 6, 31mp3an 1424 . . . . . . 7 |- ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m ( om X. om ) )
3312enref 7988 . . . . . . . 8 |- 2o ~~ 2o
34 xpomen 8838 . . . . . . . 8 |- ( om X. om ) ~~ om
35 mapen 8124 . . . . . . . 8 |- ( ( 2o ~~ 2o /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> ( 2o ^m ( om X. om ) ) ~~ ( 2o ^m om ) )
3633, 34, 35mp2an 708 . . . . . . 7 |- ( 2o ^m ( om X. om ) ) ~~ ( 2o ^m om )
3732, 36entri 8010 . . . . . 6 |- ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m om )
38 domentr 8015 . . . . . 6 |- ( ( ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) /\ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
3930, 37, 38mp2an 708 . . . . 5 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om )
40 endomtr 8014 . . . . 5 |- ( ( ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) /\ ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om ) ) -> ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
4114, 39, 40mp2an 708 . . . 4 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om )
42 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( 2o ^m om ) e. _V
43 0ex 4790 . . . . . . 7 |- (/) e. _V
4442, 43xpsnen 8044 . . . . . 6 |- ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~~ ( 2o ^m om )
4544ensymi 8006 . . . . 5 |- ( 2o ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } )
46 snfi 8038 . . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. Fin
47 isfinite 8549 . . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. Fin <-> { (/) } ~< om )
4846, 47mpbi 220 . . . . . . . . 9 |- { (/) } ~< om
49 sdomtr 8098 . . . . . . . . 9 |- ( ( { (/) } ~< om /\ om ~< ~P om ) -> { (/) } ~< ~P om )
5048, 22, 49mp2an 708 . . . . . . . 8 |- { (/) } ~< ~P om
51 sdomdom 7983 . . . . . . . 8 |- ( { (/) } ~< ~P om -> { (/) } ~<_ ~P om )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 |- { (/) } ~<_ ~P om
53 domentr 8015 . . . . . . 7 |- ( ( { (/) } ~<_ ~P om /\ ~P om ~~ ( 2o ^m om ) ) -> { (/) } ~<_ ( 2o ^m om ) )
5452, 7, 53mp2an 708 . . . . . 6 |- { (/) } ~<_ ( 2o ^m om )
5542xpdom2 8055 . . . . . 6 |- ( { (/) } ~<_ ( 2o ^m om ) -> ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
57 endomtr 8014 . . . . 5 |- ( ( ( 2o ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) /\ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ) -> ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
5845, 56, 57mp2an 708 . . . 4 |- ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
59 sbth 8080 . . . 4 |- ( ( ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om ) /\ ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ) -> ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( 2o ^m om ) )
6041, 58, 59mp2an 708 . . 3 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( 2o ^m om )
6110, 60entri 8010 . 2 |- ( RR X. RR ) ~~ ( 2o ^m om )
6261, 8entr4i 8013 1 |- ( RR X. RR ) ~~ RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112  (class class class)co 6650   omcom 7065   2oc2o 7554   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   RRcr 9935   NNcn 11020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417
This theorem is referenced by:  cpnnen  14958
  Copyright terms: Public domain W3C validator