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Theorem cfpwsdom 9406

Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 9391. Theorem 11.29 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cfpwsdom.1

**Assertion**
Ref	Expression
cfpwsdom

Proof of Theorem cfpwsdom Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . . . . . . 9
2	1	cardid 9369	. . . . . . . 8
3	2	ensymi 8006	. . . . . . 7
4		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14
5	4	canth2 8113	. . . . . . . . . . . . 13
6	4	pw2en 8067	. . . . . . . . . . . . 13
7		sdomentr 8094	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
8	5, 6, 7	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12
9		mapdom1 8125	. . . . . . . . . . . 12
10		sdomdomtr 8093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
11	8, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
12		ficard 9387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14		isfinite 8549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15		sdomdom 7983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	14, 15	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	13, 16	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . 15
18		alephgeom 8905	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		alephon 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	18, 21	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15
23		domtr 8009	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
24	17, 22, 23	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
25		domnsym 8086	. . . . . . . . . . . . . 14
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
27	26	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12
28	27	con2d 129	. . . . . . . . . . 11
29		cardidm 8785	. . . . . . . . . . . 12
30		iscard3 8916	. . . . . . . . . . . . 13
31		elun 3753	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
32		df-or 385	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
33	30, 31, 32	3bitri 286	. . . . . . . . . . . 12
34	29, 33	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11
35	11, 28, 34	syl56 36	. . . . . . . . . 10
36		alephfnon 8888	. . . . . . . . . . 11
37		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
39	35, 38	syl6ib 241	. . . . . . . . 9
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 har har
41	40	pwcfsdom 9405	. . . . . . . . . . 11
42		id 22	. . . . . . . . . . . 12
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
44	42, 43	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
45	42, 44	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11
46	41, 45	mpbii 223	. . . . . . . . . 10
47	46	rexlimivw 3029	. . . . . . . . 9
48	39, 47	syl6 35	. . . . . . . 8
49	48	imp 445	. . . . . . 7 $/\$
50		ensdomtr 8096	. . . . . . 7 $/\$
51	3, 49, 50	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$
52		fvex 6201	. . . . . . . . 9
53	52	enref 7988	. . . . . . . 8
54		mapen 8124	. . . . . . . 8 $/\$
55	2, 53, 54	mp2an 708	. . . . . . 7
56		cfpwsdom.1	. . . . . . . 8
57		mapxpen 8126	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
58	56, 19, 52, 57	mp3an 1424	. . . . . . 7
59	55, 58	entri 8010	. . . . . 6
60		sdomentr 8094	. . . . . 6 $/\$
61	51, 59, 60	sylancl 694	. . . . 5 $/\$
62	4	xpdom2 8055	. . . . . . . . . 10
63	18	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11
64		infxpen 8837	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65	19, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . 10
66		domentr 8015	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	62, 65, 66	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$
68		nsuceq0 5805	. . . . . . . . . . 11
69		dom0 8088	. . . . . . . . . . 11
70	68, 69	nemtbir 2889	. . . . . . . . . 10
71		df-2o 7561	. . . . . . . . . . . . . 14
72	71	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . 13
73		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13
74	72, 73	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12
75	74	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11
76	75	adantld 483	. . . . . . . . . 10 $/\$
77	70, 76	mtoi 190	. . . . . . . . 9 $/\$
78		mapdom2 8131	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
79	67, 77, 78	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
80		domnsym 8086	. . . . . . . 8
81	79, 80	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
82	81	expl 648	. . . . . 6 $/\$
83	82	com12 32	. . . . 5 $/\$
84	61, 83	mt2d 131	. . . 4 $/\$
85		domtri 9378	. . . . . 6 $/\$
86	52, 4, 85	mp2an 708	. . . . 5
87	86	biimpri 218	. . . 4
88	84, 87	nsyl2 142	. . 3 $/\$
89	88	ex 450	. 2
90		fndm 5990	. . . . . 6
91	36, 90	ax-mp 5	. . . . 5
92	91	eleq2i 2693	. . . 4
93		ndmfv 6218	. . . 4
94	92, 93	sylnbir 321	. . 3
95		1n0 7575	. . . . . 6
96		1onn 7719	. . . . . . . 8
97	96	elexi 3213	. . . . . . 7
98	97	0sdom 8091	. . . . . 6
99	95, 98	mpbir 221	. . . . 5
100		id 22	. . . . . 6
101		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
102		map0e 7895	. . . . . . . . . . . 12
103	56, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
104	101, 103	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
106		cardnn 8789	. . . . . . . . . 10
107	96, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
108	105, 107	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . 7
110		df-1o 7560	. . . . . . . . 9
111	110	fveq2i 6194	. . . . . . . 8
112		0elon 5778	. . . . . . . . 9
113		cfsuc 9079	. . . . . . . . 9
114	112, 113	ax-mp 5	. . . . . . . 8
115	111, 114	eqtri 2644	. . . . . . 7
116	109, 115	syl6eq 2672	. . . . . 6
117	100, 116	breq12d 4666	. . . . 5
118	99, 117	mpbiri 248	. . . 4
119	118	a1d 25	. . 3
120	94, 119	syl 17	. 2
121	89, 120	pm2.61i 176	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

cvv 3200

cun 3572

wss 3574

c0 3915

cpw 4158 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

con0 5723

csuc 5725

wfn 5883

cfv 5888 (class class class)co 6650

com 7065

c1o 7553

c2o 7554

cmap 7857

cen 7952

cdom 7953

csdm 7954

cfn 7955 harchar 8461

ccrd 8761

cale 8762

ccf 8763

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-smo 7443 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-oi 8415 df-har 8463 df-card 8765 df-aleph 8766 df-cf 8767 df-acn 8768 df-ac 8939

This theorem is referenced by: alephom 9407

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