Theorem mapsnf1o3 7906

Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 7905. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V
mapsnf1o3.f	|- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o3	|- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Distinct variable groups:   y, B   y, S   y, X

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem mapsnf1o3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
2		mapsncnv.b	. . . 4 |- B e. _V
3		mapsncnv.x	. . . 4 |- X e. _V
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 7905	. . 3 |- ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B
6		f1ocnv 6149	. . 3 |- ( ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : ( B ^m S ) -1-1-onto-> B -> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S )
8		mapsnf1o3.f	. . . 4 |- F = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
9	1, 2, 3, 4	mapsncnv 7904	. . . 4 |- `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) = ( y e. B |-> ( S X. { y } ) )
10	8, 9	eqtr4i 2647	. . 3 |- F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) )
11		f1oeq1 6127	. . 3 |- ( F = `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) -> ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) <-> `' ( x e. ( B ^m S ) |-> ( x ` X ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m S ) )
13	7, 12	mpbir 221	1 |- F : B -1-1-onto-> ( B ^m S )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  coe1f2  19579  coe1add  19634  evls1rhmlem  19686  evl1sca  19698  pf1ind  19719  ismrer1  33637