Theorem coe1add 19634

Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1add.y	|- Y = (Poly1 ` R )
coe1add.b	|- B = ( Base ` Y )
coe1add.p	|- .+b = ( +g ` Y )
coe1add.q	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
coe1add	|- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> (coe1 ` ( F .+b G ) ) = ( (coe1 ` F ) oF .+ (coe1 ` G ) ) )

Proof of Theorem coe1add

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
2		coe1add.y	. . . . . 6 |- Y = (Poly1 ` R )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
4		coe1add.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` Y )
5	2, 3, 4	ply1bas 19565	. . . . 5 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
6		coe1add.q	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
7		coe1add.p	. . . . . 6 |- .+b = ( +g ` Y )
8	2, 1, 7	ply1plusg 19595	. . . . 5 |- .+b = ( +g ` ( 1o mPoly R ) )
9		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> F e. B )
10		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> G e. B )
11	1, 5, 6, 8, 9, 10	mpladd 19442	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .+b G ) = ( F oF .+ G ) )
12	11	coeq1d 5283	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( F .+b G ) o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) = ( ( F oF .+ G ) o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
14	2, 4, 13	ply1basf 19572	. . . . . 6 |- ( F e. B -> F : ( NN0 ^m 1o ) --> ( Base ` R ) )
15		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : ( NN0 ^m 1o ) --> ( Base ` R ) -> F Fn ( NN0 ^m 1o ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( F e. B -> F Fn ( NN0 ^m 1o ) )
17	16	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> F Fn ( NN0 ^m 1o ) )
18	2, 4, 13	ply1basf 19572	. . . . . 6 |- ( G e. B -> G : ( NN0 ^m 1o ) --> ( Base ` R ) )
19		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( G : ( NN0 ^m 1o ) --> ( Base ` R ) -> G Fn ( NN0 ^m 1o ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. B -> G Fn ( NN0 ^m 1o ) )
21	20	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> G Fn ( NN0 ^m 1o ) )
22		df1o2 7572	. . . . . 6 |- 1o = { (/) }
23		nn0ex 11298	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
24		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
25		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) = ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) )
26	22, 23, 24, 25	mapsnf1o3 7906	. . . . 5 |- ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0 ^m 1o )
27		f1of 6137	. . . . 5 |- ( ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0 ^m 1o ) -> ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) : NN0 --> ( NN0 ^m 1o ) )
28	26, 27	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) : NN0 --> ( NN0 ^m 1o ) )
29		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( NN0 ^m 1o ) e. _V )
30	23	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> NN0 e. _V )
31		inidm 3822	. . . 4 |- ( ( NN0 ^m 1o ) i^i ( NN0 ^m 1o ) ) = ( NN0 ^m 1o )
32	17, 21, 28, 29, 29, 30, 31	ofco 6917	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( F oF .+ G ) o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) = ( ( F o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) oF .+ ( G o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) ) )
33	12, 32	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( ( F .+b G ) o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) = ( ( F o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) oF .+ ( G o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) ) )
34	2	ply1ring 19618	. . . 4 |- ( R e. Ring -> Y e. Ring )
35	4, 7	ringacl 18578	. . . 4 |- ( ( Y e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .+b G ) e. B )
36	34, 35	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .+b G ) e. B )
37		eqid 2622	. . . 4 |- (coe1 ` ( F .+b G ) ) = (coe1 ` ( F .+b G ) )
38	37, 4, 2, 25	coe1fval2 19580	. . 3 |- ( ( F .+b G ) e. B -> (coe1 ` ( F .+b G ) ) = ( ( F .+b G ) o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) )
39	36, 38	syl 17	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> (coe1 ` ( F .+b G ) ) = ( ( F .+b G ) o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) )
40		eqid 2622	. . . . 5 |- (coe1 ` F ) = (coe1 ` F )
41	40, 4, 2, 25	coe1fval2 19580	. . . 4 |- ( F e. B -> (coe1 ` F ) = ( F o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) )
42	41	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> (coe1 ` F ) = ( F o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) )
43		eqid 2622	. . . . 5 |- (coe1 ` G ) = (coe1 ` G )
44	43, 4, 2, 25	coe1fval2 19580	. . . 4 |- ( G e. B -> (coe1 ` G ) = ( G o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) )
45	44	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> (coe1 ` G ) = ( G o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) )
46	42, 45	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( (coe1 ` F ) oF .+ (coe1 ` G ) ) = ( ( F o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) oF .+ ( G o. ( a e. NN0 |-> ( 1o X. { a } ) ) ) ) )
47	33, 39, 46	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> (coe1 ` ( F .+b G ) ) = ( (coe1 ` F ) oF .+ (coe1 ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353  PwSer₁cps1 19545  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  coe1addfv  19635