Theorem evl1sca 19698

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	|- O = (eval1 ` R )
evl1sca.p	|- P = (Poly1 ` R )
evl1sca.b	|- B = ( Base ` R )
evl1sca.a	|- A = (algSc ` P )

Assertion

Ref	Expression
evl1sca	|- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( O ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Proof of Theorem evl1sca

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> R e. Ring )
3		evl1sca.p	. . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
4		evl1sca.a	. . . . . 6 |- A = (algSc ` P )
5		evl1sca.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 19655	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> A : B --> ( Base ` P ) )
8	2, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> A : B --> ( Base ` P ) )
9		ffvelrn 6357	. . . 4 |- ( ( A : B --> ( Base ` P ) /\ X e. B ) -> ( A ` X ) e. ( Base ` P ) )
10	8, 9	sylancom 701	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( A ` X ) e. ( Base ` P ) )
11		evl1sca.o	. . . 4 |- O = (eval1 ` R )
12		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1o eval R ) = ( 1o eval R )
13		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
15	3, 14, 6	ply1bas 19565	. . . 4 |- ( Base ` P ) = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
16	11, 12, 5, 13, 15	evl1val 19693	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ ( A ` X ) e. ( Base ` P ) ) -> ( O ` ( A ` X ) ) = ( ( ( 1o eval R ) ` ( A ` X ) ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
17	10, 16	syldan 487	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( O ` ( A ` X ) ) = ( ( ( 1o eval R ) ` ( A ` X ) ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
18	5	ressid 15935	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. CRing -> ( R ↾s B ) = R )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( R ↾s B ) = R )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) = ( 1o mPoly R ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly R ) ) )
22	3, 4	ply1ascl 19628	. . . . . . 7 |- A = (algSc ` ( 1o mPoly R ) )
23	21, 22	syl6reqr 2675	. . . . . 6 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> A = (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) )
24	23	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( A ` X ) = ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` X ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` X ) ) )
26	12, 5	evlval 19524	. . . . 5 |- ( 1o eval R ) = ( ( 1o evalSub R ) ` B )
27		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) = ( 1o mPoly ( R ↾s B ) )
28		eqid 2622	. . . . 5 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
29		eqid 2622	. . . . 5 |- (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) )
30		1on 7567	. . . . . 6 |- 1o e. On
31	30	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> 1o e. On )
32		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> R e. CRing )
33	5	subrgid 18782	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> B e. (SubRing ` R ) )
34	2, 33	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> B e. (SubRing ` R ) )
35		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> X e. B )
36	26, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35	evlssca 19522	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
37	25, 36	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
38	37	coeq1d 5283	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( ( ( 1o eval R ) ` ( A ` X ) ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
39		df1o2 7572	. . . . . . 7 |- 1o = { (/) }
40		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
41	5, 40	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- B e. _V
42		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
43		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) = ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) )
44	39, 41, 42, 43	mapsnf1o3 7906	. . . . . 6 |- ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m 1o )
45		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m 1o ) -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
46	44, 45	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
47	43	fmpt 6381	. . . . 5 |- ( A. y e. B ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
48	46, 47	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> A. y e. B ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) )
49		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) = ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) )
50		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( x e. ( B ^m 1o ) |-> X )
51	50	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( x e. ( B ^m 1o ) |-> X ) )
52		eqidd 2623	. . . 4 |- ( x = ( 1o X. { y } ) -> X = X )
53	48, 49, 51, 52	fmptcof 6397	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( y e. B |-> X ) )
54		fconstmpt 5163	. . 3 |- ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X )
55	53, 54	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( B X. { X } ) )
56	17, 38, 55	3eqtrd 2660	1 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( O ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Oncon0 5723   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  SubRingcsubrg 18776  algSccascl 19311   mPoly cmpl 19353   eval cevl 19505  PwSer₁cps1 19545  Poly₁cpl1 19547  eval₁ce1 19679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-evl1 19681

This theorem is referenced by:  evl1scad  19699  pf1const  19710  pf1ind  19719  evl1scvarpw  19727  ply1rem  23923  fta1g  23927  fta1blem  23928  plypf1  23968