Theorem coe1f2 19579

Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	|- A = (coe1 ` F )
coe1f2.b	|- B = ( Base ` P )
coe1f2.p	|- P = (PwSer1 ` R )
coe1f2.k	|- K = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
coe1f2	|- ( F e. B -> A : NN0 --> K )

Proof of Theorem coe1f2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1f2.p	. . . 4 |- P = (PwSer1 ` R )
2		coe1f2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
3		coe1f2.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4	1, 2, 3	psr1basf 19571	. . 3 |- ( F e. B -> F : ( NN0 ^m 1o ) --> K )
5		df1o2 7572	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
6		nn0ex 11298	. . . . 5 |- NN0 e. _V
7		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) = ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) )
9	5, 6, 7, 8	mapsnf1o3 7906	. . . 4 |- ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0 ^m 1o )
10		f1of 6137	. . . 4 |- ( ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0 ^m 1o ) -> ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) : NN0 --> ( NN0 ^m 1o ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) : NN0 --> ( NN0 ^m 1o )
12		fco 6058	. . 3 |- ( ( F : ( NN0 ^m 1o ) --> K /\ ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) : NN0 --> ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( F o. ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) ) : NN0 --> K )
13	4, 11, 12	sylancl 694	. 2 |- ( F e. B -> ( F o. ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) ) : NN0 --> K )
14		coe1fval.a	. . . 4 |- A = (coe1 ` F )
15	14, 2, 1, 8	coe1fval3 19578	. . 3 |- ( F e. B -> A = ( F o. ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) ) )
16	15	feq1d 6030	. 2 |- ( F e. B -> ( A : NN0 --> K <-> ( F o. ( x e. NN0 |-> ( 1o X. { x } ) ) ) : NN0 --> K ) )
17	13, 16	mpbird 247	1 |- ( F e. B -> A : NN0 --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   NN0cn0 11292   Basecbs 15857  PwSer₁cps1 19545  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-psr 19356  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  coe1f  19581  coe1mul2  19639