Theorem pf1ind 19719

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1ind.cb	|- B = ( Base ` R )
pf1ind.cp	|- .+ = ( +g ` R )
pf1ind.ct	|- .x. = ( .r ` R )
pf1ind.cq	|- Q = ran (eval1 ` R )
pf1ind.ad	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
pf1ind.mu	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
pf1ind.wa	|- ( x = ( B X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
pf1ind.wb	|- ( x = ( _I |` B ) -> ( ps <-> th ) )
pf1ind.wc	|- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
pf1ind.wd	|- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
pf1ind.we	|- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
pf1ind.wf	|- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
pf1ind.wg	|- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
pf1ind.co	|- ( ( ph /\ f e. B ) -> ch )
pf1ind.pr	|- ( ph -> th )
pf1ind.a	|- ( ph -> A e. Q )

Assertion

Ref	Expression
pf1ind	|- ( ph -> rh )

Distinct variable groups:   f, g, x, .+   B, f, g, x   et, f, x   ph, f, g   x, A   ch, x   ps, f, g   Q, f, g   rh, x   si, x   ta, x   th, x   .x. , f, g, x   ze, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( f, g)   th( f, g)   ta( f, g)   et( g)   ze( f, g)   si( f, g)   rh( f, g)   A( f, g)   Q( x)   R( x, f, g)

Proof of Theorem pf1ind

Dummy variables a b y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5654	. . . . 5 |- ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( A o. ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
2		df1o2 7572	. . . . . . . . 9 |- 1o = { (/) }
3		pf1ind.cb	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` R )
4		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
6		0ex 4790	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
7		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) )
8	2, 5, 6, 7	mapsncnv 7904	. . . . . . . 8 |- `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) = ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) )
9	8	coeq2i 5282	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) )
10	2, 5, 6, 7	mapsnf1o2 7905	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( B ^m 1o ) -1-1-onto-> B
11		f1ococnv2 6163	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( B ^m 1o ) -1-1-onto-> B -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( _I |` B ) )
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( _I |` B ) )
13	9, 12	syl5eqr 2670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( _I |` B ) )
14	13	coeq2d 5284	. . . . 5 |- ( ph -> ( A o. ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) = ( A o. ( _I |` B ) ) )
15	1, 14	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( A o. ( _I |` B ) ) )
16		pf1ind.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Q )
17		pf1ind.cq	. . . . . 6 |- Q = ran (eval1 ` R )
18	17, 3	pf1f 19714	. . . . 5 |- ( A e. Q -> A : B --> B )
19		fcoi1 6078	. . . . 5 |- ( A : B --> B -> ( A o. ( _I |` B ) ) = A )
20	16, 18, 19	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( A o. ( _I |` B ) ) = A )
21	15, 20	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = A )
22		pf1ind.cp	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
23		pf1ind.ct	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 1o eval R ) = ( 1o eval R )
25	24, 3	evlval 19524	. . . . 5 |- ( 1o eval R ) = ( ( 1o evalSub R ) ` B )
26	25	rneqi 5352	. . . 4 |- ran ( 1o eval R ) = ran ( ( 1o evalSub R ) ` B )
27		an4 865	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) <-> ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( 1o eval R ) = ran ( 1o eval R )
29	17, 3, 28	mpfpf1 19715	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ran ( 1o eval R ) -> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q )
30	17, 3, 28	mpfpf1 19715	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ran ( 1o eval R ) -> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q )
31		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- f e. _V
32		pf1ind.wc	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
33	31, 32	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. { x | ps } <-> ta )
34		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f e. { x | ps } <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
35	33, 34	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ta <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
36	35	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ta /\ et ) <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) ) )
37	36	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) <-> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) ) )
38		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .+ g ) e. _V
39		pf1ind.we	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
40	38, 39	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ze )
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f oF .+ g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) )
43	40, 42	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ze <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) )
44	37, 43	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> ze ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) ) )
45		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- g e. _V
46		pf1ind.wd	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
47	45, 46	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. { x | ps } <-> et )
48		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( g e. { x | ps } <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
49	47, 48	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( et <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
50	49	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
51	50	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) <-> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) ) )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
53	52	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
54	51, 53	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
55		pf1ind.ad	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
56	55	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) -> ( ph -> ze ) )
57	56	an4s 869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. Q /\ g e. Q ) /\ ( ta /\ et ) ) -> ( ph -> ze ) )
58	57	expimpd 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q /\ g e. Q ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> ze ) )
59	44, 54, 58	vtocl2ga 3274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
60	29, 30, 59	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
61	60	expcomd 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ph -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
62	61	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
63	26, 3	mpff 19533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ran ( 1o eval R ) -> a : ( B ^m 1o ) --> B )
64	63	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> a : ( B ^m 1o ) --> B )
65		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( a : ( B ^m 1o ) --> B -> a Fn ( B ^m 1o ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> a Fn ( B ^m 1o ) )
67	26, 3	mpff 19533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ran ( 1o eval R ) -> b : ( B ^m 1o ) --> B )
68	67	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> b : ( B ^m 1o ) --> B )
69		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( b : ( B ^m 1o ) --> B -> b Fn ( B ^m 1o ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> b Fn ( B ^m 1o ) )
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) = ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) )
72	2, 5, 6, 71	mapsnf1o3 7906	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m 1o )
73		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m 1o ) -> ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
74	72, 73	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
75		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( B ^m 1o ) e. _V )
76	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> B e. _V )
77		inidm 3822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ^m 1o ) i^i ( B ^m 1o ) ) = ( B ^m 1o )
78	66, 70, 74, 75, 75, 76, 77	ofco 6917	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
79	78	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
80	62, 79	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
81	80	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
82	27, 81	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
83	82	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
84		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .x. g ) e. _V
85		pf1ind.wf	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
86	84, 85	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> si )
87		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f oF .x. g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) )
88	87	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) )
89	86, 88	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( si <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) )
90	37, 89	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> si ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) ) )
91		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
92	91	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
93	51, 92	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
94		pf1ind.mu	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
95	94	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) -> ( ph -> si ) )
96	95	an4s 869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. Q /\ g e. Q ) /\ ( ta /\ et ) ) -> ( ph -> si ) )
97	96	expimpd 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q /\ g e. Q ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> si ) )
98	90, 93, 97	vtocl2ga 3274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
99	29, 30, 98	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
100	99	expcomd 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ph -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
101	100	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
102	66, 70, 74, 75, 75, 76, 77	ofco 6917	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
103	102	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
104	101, 103	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
105	104	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
106	27, 105	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
107	106	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
108		coeq1 5279	. . . . 5 |- ( y = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
109	108	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
110		coeq1 5279	. . . . 5 |- ( y = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
111	110	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
112		coeq1 5279	. . . . 5 |- ( y = a -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
113	112	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = a -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
114		coeq1 5279	. . . . 5 |- ( y = b -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
115	114	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = b -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
116		coeq1 5279	. . . . 5 |- ( y = ( a oF .+ b ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
117	116	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = ( a oF .+ b ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
118		coeq1 5279	. . . . 5 |- ( y = ( a oF .x. b ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
119	118	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = ( a oF .x. b ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
120		coeq1 5279	. . . . 5 |- ( y = ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
121	120	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
122	17	pf1rcl 19713	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Q -> R e. CRing )
123	16, 122	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. CRing )
124	123	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> R e. CRing )
125		1on 7567	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. On
126		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
127	126	mplassa 19454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. On /\ R e. CRing ) -> ( 1o mPoly R ) e. AssAlg )
128	125, 123, 127	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1o mPoly R ) e. AssAlg )
129		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Poly1 ` R ) = (Poly1 ` R )
130		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (algSc ` (Poly1 ` R ) ) = (algSc ` (Poly1 ` R ) )
131	129, 130	ply1ascl 19628	. . . . . . . . . . . 12 |- (algSc ` (Poly1 ` R ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly R ) )
132		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) = (Scalar ` ( 1o mPoly R ) )
133	131, 132	asclrhm 19342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o mPoly R ) e. AssAlg -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
134	128, 133	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
135	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1o e. On )
136	126, 135, 123	mplsca 19445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R = (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) )
137	136	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) = ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
138	134, 137	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
139		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
140	3, 139	rhmf 18726	. . . . . . . . 9 |- ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) : B --> ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
141	138, 140	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) : B --> ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
142	141	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) e. ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
143		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (eval1 ` R ) = (eval1 ` R )
144	143, 24, 3, 126, 139	evl1val 19693	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) e. ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
145	124, 142, 144	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
146	143, 129, 3, 130	evl1sca 19698	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( B X. { a } ) )
147	123, 146	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( B X. { a } ) )
148	3	ressid 15935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. CRing -> ( R ↾s B ) = R )
149	124, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( R ↾s B ) = R )
150	149	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) = ( 1o mPoly R ) )
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly R ) ) )
152	151, 131	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` (Poly1 ` R ) ) )
153	152	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) = ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) )
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) ) = ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) )
155		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) = ( 1o mPoly ( R ↾s B ) )
156		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
157		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) )
158	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> 1o e. On )
159		crngring 18558	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
160	3	subrgid 18782	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> B e. (SubRing ` R ) )
161	123, 159, 160	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. (SubRing ` R ) )
162	161	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> B e. (SubRing ` R ) )
163		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> a e. B )
164	25, 155, 156, 3, 157, 158, 124, 162, 163	evlssca 19522	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) )
165	154, 164	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) )
166	165	coeq1d 5283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
167	145, 147, 166	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
168		pf1ind.co	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ch )
169		snex 4908	. . . . . . . . . 10 |- { f } e. _V
170	5, 169	xpex 6962	. . . . . . . . 9 |- ( B X. { f } ) e. _V
171		pf1ind.wa	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
172	170, 171	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( ( B X. { f } ) e. { x | ps } <-> ch )
173	168, 172	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( B X. { f } ) e. { x | ps } )
174	173	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. f e. B ( B X. { f } ) e. { x | ps } )
175		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( f = a -> { f } = { a } )
176	175	xpeq2d 5139	. . . . . . . 8 |- ( f = a -> ( B X. { f } ) = ( B X. { a } ) )
177	176	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( f = a -> ( ( B X. { f } ) e. { x | ps } <-> ( B X. { a } ) e. { x | ps } ) )
178	177	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. f e. B ( B X. { f } ) e. { x | ps } /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) e. { x | ps } )
179	174, 178	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) e. { x | ps } )
180	167, 179	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
181		pf1ind.pr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> th )
182		resiexg 7102	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. _V -> ( _I |` B ) e. _V )
183	5, 182	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` B ) e. _V
184		pf1ind.wb	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( _I |` B ) -> ( ps <-> th ) )
185	183, 184	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` B ) e. { x | ps } <-> th )
186	181, 185	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _I |` B ) e. { x | ps } )
187	13, 186	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
188		el1o 7579	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. 1o <-> a = (/) )
189		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( b ` a ) = ( b ` (/) ) )
190	188, 189	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( a e. 1o -> ( b ` a ) = ( b ` (/) ) )
191	190	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( a e. 1o -> ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) )
192	191	coeq1d 5283	. . . . . . 7 |- ( a e. 1o -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
193	192	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( a e. 1o -> ( ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
194	187, 193	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. 1o -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
195	194	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. 1o ) -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
196	17, 3, 28	pf1mpf 19716	. . . . 5 |- ( A e. Q -> ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) e. ran ( 1o eval R ) )
197	16, 196	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) e. ran ( 1o eval R ) )
198	3, 22, 23, 26, 83, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 180, 195, 197	mpfind 19536	. . 3 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
199	21, 198	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> A e. { x | ps } )
200		pf1ind.wg	. . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
201	200	elabg 3351	. . 3 |- ( A e. Q -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
202	16, 201	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
203	199, 202	mpbid 222	1 |- ( ph -> rh )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  SubRingcsubrg 18776  AssAlgcasa 19309  algSccascl 19311   mPoly cmpl 19353   evalSub ces 19504   eval cevl 19505  Poly₁cpl1 19547  eval₁ce1 19679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-evl1 19681

This theorem is referenced by:  pl1cn  30001