Theorem marypha2 8345

Description: Version of marypha1 8340 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
marypha2.a	|- ( ph -> A e. Fin )
marypha2.b	|- ( ph -> F : A --> Fin )
marypha2.c	|- ( ( ph /\ d C_ A ) -> d ~<_ U. ( F " d ) )

Assertion

Ref	Expression
marypha2	|- ( ph -> E. g ( g : A -1-1-> _V /\ A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   ph, d, g, x   A, d, g, x   F, d, g, x

Proof of Theorem marypha2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marypha2.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		marypha2.b	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> Fin )
3	2, 1	unirnffid 8258	. . 3 |- ( ph -> U. ran F e. Fin )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) = U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) )
5	4	marypha2lem1 8341	. . . 4 |- U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) C_ ( A X. U. ran F )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) C_ ( A X. U. ran F ) )
7		marypha2.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ d C_ A ) -> d ~<_ U. ( F " d ) )
8		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : A --> Fin -> F Fn A )
9	2, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn A )
10	4	marypha2lem4 8344	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ d C_ A ) -> ( U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) " d ) = U. ( F " d ) )
11	9, 10	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) " d ) = U. ( F " d ) )
12	7, 11	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ph /\ d C_ A ) -> d ~<_ ( U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) " d ) )
13	1, 3, 6, 12	marypha1 8340	. 2 |- ( ph -> E. g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) g : A -1-1-> U. ran F )
14		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) g : A -1-1-> U. ran F <-> E. g ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) )
15		ssv 3625	. . . . . . . 8 |- U. ran F C_ _V
16		f1ss 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-> U. ran F /\ U. ran F C_ _V ) -> g : A -1-1-> _V )
17	15, 16	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-> U. ran F -> g : A -1-1-> _V )
18	17	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) ) -> g : A -1-1-> _V )
19		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) -> g C_ U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) )
20	19	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) ) -> g C_ U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) )
21	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) ) -> F Fn A )
22		f1fn 6102	. . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-> U. ran F -> g Fn A )
23	22	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) ) -> g Fn A )
24	4	marypha2lem3 8343	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ g Fn A ) -> ( g C_ U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) <-> A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )
25	21, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) ) -> ( g C_ U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) <-> A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )
26	20, 25	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) )
27	18, 26	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) ) -> ( g : A -1-1-> _V /\ A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )
28	27	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) -> ( g : A -1-1-> _V /\ A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) ) )
29	28	eximdv 1846	. . 3 |- ( ph -> ( E. g ( g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) /\ g : A -1-1-> U. ran F ) -> E. g ( g : A -1-1-> _V /\ A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) ) )
30	14, 29	syl5bi 232	. 2 |- ( ph -> ( E. g e. ~P U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) ) g : A -1-1-> U. ran F -> E. g ( g : A -1-1-> _V /\ A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) ) )
31	13, 30	mpd 15	1 |- ( ph -> E. g ( g : A -1-1-> _V /\ A. x e. A ( g ` x ) e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by: (None)