Theorem mbfmcnt 30330

Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
mbfmcnt	|- ( O e. V -> ( ~P OMblFnM𝔅ℝ ) = ( RR ^m O ) )

Proof of Theorem mbfmcnt

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsiga 30193	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ~P O e. (sigAlgebra ` O ) )
2		elrnsiga 30189	. . . . . 6 |- ( ~P O e. (sigAlgebra ` O ) -> ~P O e. U. ran sigAlgebra )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( O e. V -> ~P O e. U. ran sigAlgebra )
4		brsigarn 30247	. . . . . 6 |- 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR )
5		elrnsiga 30189	. . . . . 6 |- (𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) -> 𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra )
6	4, 5	mp1i 13	. . . . 5 |- ( O e. V -> 𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra )
7	3, 6	ismbfm 30314	. . . 4 |- ( O e. V -> ( f e. ( ~P OMblFnM𝔅ℝ ) <-> ( f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) /\ A. x e. 𝔅ℝ ( `' f " x ) e. ~P O ) ) )
8		unibrsiga 30249	. . . . . . . . . 10 |- U.𝔅ℝ = RR
9		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
10	8, 9	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- U.𝔅ℝ e. _V
11		unipw 4918	. . . . . . . . . 10 |- U. ~P O = O
12		elex 3212	. . . . . . . . . 10 |- ( O e. V -> O e. _V )
13	11, 12	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( O e. V -> U. ~P O e. _V )
14		elmapg 7870	. . . . . . . . 9 |- ( ( U.𝔅ℝ e. _V /\ U. ~P O e. _V ) -> ( f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) <-> f : U. ~P O --> U.𝔅ℝ ) )
15	10, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( O e. V -> ( f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) <-> f : U. ~P O --> U.𝔅ℝ ) )
16	11	feq2i 6037	. . . . . . . 8 |- ( f : U. ~P O --> U.𝔅ℝ <-> f : O --> U.𝔅ℝ )
17	15, 16	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( O e. V -> ( f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) <-> f : O --> U.𝔅ℝ ) )
18		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( f : O --> U.𝔅ℝ -> f Fn O )
19	17, 18	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) -> f Fn O ) )
20		elpreima 6337	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn O -> ( y e. ( `' f " x ) <-> ( y e. O /\ ( f ` y ) e. x ) ) )
21		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. O /\ ( f ` y ) e. x ) -> y e. O )
22	20, 21	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( f Fn O -> ( y e. ( `' f " x ) -> y e. O ) )
23	22	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( f Fn O -> ( `' f " x ) C_ O )
24		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
25	24	cnvex 7113	. . . . . . . . . 10 |- `' f e. _V
26		imaexg 7103	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f e. _V -> ( `' f " x ) e. _V )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " x ) e. _V
28	27	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( ( `' f " x ) e. ~P O <-> ( `' f " x ) C_ O )
29	23, 28	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( f Fn O -> ( `' f " x ) e. ~P O )
30	29	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( f Fn O -> A. x e. 𝔅ℝ ( `' f " x ) e. ~P O )
31	19, 30	syl6 35	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) -> A. x e. 𝔅ℝ ( `' f " x ) e. ~P O ) )
32	31	pm4.71d 666	. . . 4 |- ( O e. V -> ( f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) <-> ( f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) /\ A. x e. 𝔅ℝ ( `' f " x ) e. ~P O ) ) )
33	7, 32	bitr4d 271	. . 3 |- ( O e. V -> ( f e. ( ~P OMblFnM𝔅ℝ ) <-> f e. ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) ) )
34	33	eqrdv 2620	. 2 |- ( O e. V -> ( ~P OMblFnM𝔅ℝ ) = ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) )
35	8, 11	oveq12i 6662	. 2 |- ( U.𝔅ℝ ^m U. ~P O ) = ( RR ^m O )
36	34, 35	syl6eq 2672	1 |- ( O e. V -> ( ~P OMblFnM𝔅ℝ ) = ( RR ^m O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935  sigAlgebracsiga 30170  𝔅_ℝcbrsiga 30244  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-mbfm 30313

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