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Theorem muladd 10462
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
muladd |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )
Proof of Theorem muladd
StepHypRef Expression
1 addcl 10018 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2 adddi 10025 . . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
323expb 1266 . . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
41, 3sylan 488 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
5 adddir 10031 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
653expa 1265 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
76adantrr 753 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
8 adddir 10031 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
983expa 1265 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
109adantrl 752 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
117, 10oveq12d 6668 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) )
12 mulcl 10020 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) e. CC )
1312ad2ant2r 783 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A x. C ) e. CC )
14 mulcl 10020 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) e. CC )
1514ad2ant2lr 784 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
16 mulcl 10020 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ D e. CC ) -> ( A x. D ) e. CC )
17 mulcl 10020 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B x. D ) e. CC )
18 addcl 10018 . . . . . . 7 |- ( ( ( A x. D ) e. CC /\ ( B x. D ) e. CC ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
1916, 17, 18syl2an 494 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ D e. CC ) /\ ( B e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
2019anandirs 874 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ D e. CC ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
2120adantrl 752 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
2213, 15, 21add32d 10263 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) + ( B x. C ) ) )
23 mulcom 10022 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B x. D ) = ( D x. B ) )
2423ad2ant2l 782 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. D ) = ( D x. B ) )
2524oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( B x. D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( D x. B ) ) )
2616ad2ant2rl 785 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A x. D ) e. CC )
2717ad2ant2l 782 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. D ) e. CC )
2813, 26, 27addassd 10062 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( B x. D ) ) = ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) )
29 mulcl 10020 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. CC /\ B e. CC ) -> ( D x. B ) e. CC )
3029ancoms 469 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( D x. B ) e. CC )
3130ad2ant2l 782 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( D x. B ) e. CC )
3213, 26, 31add32d 10263 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( D x. B ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) )
3325, 28, 323eqtr3d 2664 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) )
34 mulcom 10022 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
3534ad2ant2lr 784 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
3633, 35oveq12d 6668 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) + ( B x. C ) ) = ( ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) + ( C x. B ) ) )
37 addcl 10018 . . . . . 6 |- ( ( ( A x. C ) e. CC /\ ( D x. B ) e. CC ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
3812, 30, 37syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ C e. CC ) /\ ( B e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
3938an4s 869 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
40 mulcl 10020 . . . . . 6 |- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C x. B ) e. CC )
4140ancoms 469 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( C x. B ) e. CC )
4241ad2ant2lr 784 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C x. B ) e. CC )
4339, 26, 42addassd 10062 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) + ( C x. B ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )
4422, 36, 433eqtrd 2660 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )
454, 11, 443eqtrd 2660 1 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079
This theorem is referenced by:  mulsub  10473  muladdi  10481  muladdd  10489  sqabsadd  14022  demoivreALT  14931
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