demoivreALT - Metamath Proof Explorer

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Theorem demoivreALT 14931

Description: Alternate proof of demoivre 14930. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
demoivreALT	$/\$

Proof of Theorem demoivreALT Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5
2		oveq1 6657	. . . . . . 7
3	2	fveq2d 6195	. . . . . 6
4	2	fveq2d 6195	. . . . . . 7
5	4	oveq2d 6666	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6668	. . . . 5
7	1, 6	eqeq12d 2637	. . . 4
8	7	imbi2d 330	. . 3
9		oveq2 6658	. . . . 5
10		oveq1 6657	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 6195	. . . . . 6
12	10	fveq2d 6195	. . . . . . 7
13	12	oveq2d 6666	. . . . . 6
14	11, 13	oveq12d 6668	. . . . 5
15	9, 14	eqeq12d 2637	. . . 4
16	15	imbi2d 330	. . 3
17		oveq2 6658	. . . . 5
18		oveq1 6657	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 6195	. . . . . 6
20	18	fveq2d 6195	. . . . . . 7
21	20	oveq2d 6666	. . . . . 6
22	19, 21	oveq12d 6668	. . . . 5
23	17, 22	eqeq12d 2637	. . . 4
24	23	imbi2d 330	. . 3
25		oveq2 6658	. . . . 5
26		oveq1 6657	. . . . . . 7
27	26	fveq2d 6195	. . . . . 6
28	26	fveq2d 6195	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6666	. . . . . 6
30	27, 29	oveq12d 6668	. . . . 5
31	25, 30	eqeq12d 2637	. . . 4
32	31	imbi2d 330	. . 3
33		coscl 14857	. . . . . 6
34		ax-icn 9995	. . . . . . 7
35		sincl 14856	. . . . . . 7
36		mulcl 10020	. . . . . . 7 $/\$
37	34, 35, 36	sylancr 695	. . . . . 6
38		addcl 10018	. . . . . 6 $/\$
39	33, 37, 38	syl2anc 693	. . . . 5
40		exp0 12864	. . . . 5
41	39, 40	syl 17	. . . 4
42		mul02 10214	. . . . . . . 8
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . 7
44		cos0 14880	. . . . . . 7
45	43, 44	syl6eq 2672	. . . . . 6
46	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
47		sin0 14879	. . . . . . . . 9
48	46, 47	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . 7
50	34	mul01i 10226	. . . . . . 7
51	49, 50	syl6eq 2672	. . . . . 6
52	45, 51	oveq12d 6668	. . . . 5
53		ax-1cn 9994	. . . . . 6
54	53	addid1i 10223	. . . . 5
55	52, 54	syl6eq 2672	. . . 4
56	41, 55	eqtr4d 2659	. . 3
57		expp1 12867	. . . . . . . . 9 $/\$
58	39, 57	sylan 488	. . . . . . . 8 $/\$
59	58	ancoms 469	. . . . . . 7 $/\$
60	59	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61		oveq1 6657	. . . . . . 7
62	61	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13
64		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	63, 64	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		sinadd 14894	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	65, 66	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		sincl 14856	. . . . . . . . . . . . . 14
70	65, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	68, 70, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76		coscl 14857	. . . . . . . . . . . . . 14
77	65, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81		addcom 10222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	75, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
86		adddir 10031	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		mulid2 10038	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	86, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	63, 90	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	53, 91	mp3an2 1412	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
94	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
96	93, 95	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$
97		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	34, 97	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13
99	65, 69, 98	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100	33, 37	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
102		muladd 10462	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	78, 34	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
105	70, 34	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
106		mul4 10205	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	107	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	106, 108	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
110	104, 105, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	111	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		mul12 10202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	34, 113	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
115	77, 78, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
116		mul12 10202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	34, 116	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	68, 70, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	115, 118	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		adddi 10025	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	34, 120	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	80, 75, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	119, 122	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	103, 112, 124	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$
126		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
127	78, 70, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128		mulm1 10471	. . . . . . . . . . . . 13
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$
132		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	77, 68, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134		negsub 10329	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
135	133, 127, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	125, 131, 136	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 $/\$
138		cosadd 14895	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	65, 138	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	70, 78, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
142	141	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
143	139, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
144	143	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$
145	137, 144	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 $/\$
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2667	. . . . . . 7 $/\$
147	146	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
148	60, 62, 147	3eqtrd 2660	. . . . 5 $/\$ $/\$
149	148	exp31 630	. . . 4
150	149	a2d 29	. . 3
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 11472	. 2
152	151	impcom 446	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cn0 11292

cexp 12860

csin 14794

ccos 14795

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801

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