Theorem nmof 22523

Description: The operator norm is a function into the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	|- N = ( S normOp T )

Assertion

Ref	Expression
nmof	|- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp ) -> N : ( S GrpHom T ) --> RR* )

Proof of Theorem nmof

Dummy variables f r x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . 3 |- N = ( S normOp T )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( norm ` S ) = ( norm ` S )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( norm ` T ) = ( norm ` T )
5	1, 2, 3, 4	nmofval 22518	. 2 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp ) -> N = ( f e. ( S GrpHom T ) |-> inf ( { r e. ( 0 [,) +oo ) | A. x e. ( Base ` S ) ( ( norm ` T ) ` ( f ` x ) ) <_ ( r x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) } , RR* , < ) ) )
6		ssrab2 3687	. . . 4 |- { r e. ( 0 [,) +oo ) | A. x e. ( Base ` S ) ( ( norm ` T ) ` ( f ` x ) ) <_ ( r x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) } C_ ( 0 [,) +oo )
7		icossxr 12258	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
8	6, 7	sstri 3612	. . 3 |- { r e. ( 0 [,) +oo ) | A. x e. ( Base ` S ) ( ( norm ` T ) ` ( f ` x ) ) <_ ( r x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) } C_ RR*
9		infxrcl 12163	. . 3 |- ( { r e. ( 0 [,) +oo ) | A. x e. ( Base ` S ) ( ( norm ` T ) ` ( f ` x ) ) <_ ( r x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) } C_ RR* -> inf ( { r e. ( 0 [,) +oo ) | A. x e. ( Base ` S ) ( ( norm ` T ) ` ( f ` x ) ) <_ ( r x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) } , RR* , < ) e. RR* )
10	8, 9	mp1i 13	. 2 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp ) /\ f e. ( S GrpHom T ) ) -> inf ( { r e. ( 0 [,) +oo ) | A. x e. ( Base ` S ) ( ( norm ` T ) ` ( f ` x ) ) <_ ( r x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) } , RR* , < ) e. RR* )
11	5, 10	fmpt3d 6386	1 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp ) -> N : ( S GrpHom T ) --> RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   Basecbs 15857   GrpHom cghm 17657   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   normOpcnmo 22509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181  df-nmo 22512

This theorem is referenced by:  nmocl  22524  isnghm  22527