Theorem noeta 31868

Description: The full-eta axiom for the surreal numbers. This is the single most important property of the surreals. It says that, given two sets of surreals such that one comes completely before the other, there is a surreal lying strictly between the two. Furthermore, there is an upper bound on the birthday of that surreal. Alling's axiom FE. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
noeta	|- ( ( ( A C_ No /\ A e. V ) /\ ( B C_ No /\ B e. W ) /\ A. x e. A A. y e. B x <s y ) -> E. z e. No ( A. x e. A x <s z /\ A. y e. B z <s y /\ ( bday ` z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)   W( x, y, z)

Proof of Theorem noeta

Dummy variables a b c d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( f = c -> ( f e. dom d <-> c e. dom d ) )
2		suceq 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = c -> suc f = suc c )
3	2	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( f = c -> ( d |` suc f ) = ( d |` suc c ) )
4	2	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( f = c -> ( e |` suc f ) = ( e |` suc c ) )
5	3, 4	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( f = c -> ( ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) <-> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( f = c -> ( ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) <-> ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) ) )
7	6	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( f = c -> ( A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) <-> A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( f = c -> ( d ` f ) = ( d ` c ) )
9	8	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( f = c -> ( ( d ` f ) = a <-> ( d ` c ) = a ) )
10	1, 7, 9	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( f = c -> ( ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) <-> ( c e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) /\ ( d ` c ) = a ) ) )
11	10	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( f = c -> ( E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) <-> E. d e. A ( c e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) /\ ( d ` c ) = a ) ) )
12	11	iotabidv 5872	. . . 4 |- ( f = c -> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) = ( iota a E. d e. A ( c e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) /\ ( d ` c ) = a ) ) )
13	12	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( f e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) ) = ( c e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( c e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) /\ ( d ` c ) = a ) ) )
14		ifeq2 4091	. . 3 |- ( ( f e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) ) = ( c e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( c e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) /\ ( d ` c ) = a ) ) ) -> if ( E. a e. A A. b e. A -. a <s b , ( ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) u. { <. dom ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) , 2o >. } ) , ( f e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) ) ) = if ( E. a e. A A. b e. A -. a <s b , ( ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) u. { <. dom ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) , 2o >. } ) , ( c e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( c e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) /\ ( d ` c ) = a ) ) ) ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. 2 |- if ( E. a e. A A. b e. A -. a <s b , ( ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) u. { <. dom ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) , 2o >. } ) , ( f e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) ) ) = if ( E. a e. A A. b e. A -. a <s b , ( ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) u. { <. dom ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) , 2o >. } ) , ( c e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( c e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc c ) = ( e |` suc c ) ) /\ ( d ` c ) = a ) ) ) )
16		eqid 2622	. 2 |- ( if ( E. a e. A A. b e. A -. a <s b , ( ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) u. { <. dom ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) , 2o >. } ) , ( f e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) ) ) u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom if ( E. a e. A A. b e. A -. a <s b , ( ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) u. { <. dom ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) , 2o >. } ) , ( f e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) ) ) ) X. { 1o } ) ) = ( if ( E. a e. A A. b e. A -. a <s b , ( ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) u. { <. dom ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) , 2o >. } ) , ( f e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) ) ) u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom if ( E. a e. A A. b e. A -. a <s b , ( ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) u. { <. dom ( iota_ a e. A A. b e. A -. a <s b ) , 2o >. } ) , ( f e. { b | E. d e. A ( b e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc b ) = ( e |` suc b ) ) ) } |-> ( iota a E. d e. A ( f e. dom d /\ A. e e. A ( -. e <s d -> ( d |` suc f ) = ( e |` suc f ) ) /\ ( d ` f ) = a ) ) ) ) ) X. { 1o } ) )
17	15, 16	noetalem5 31867	1 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. V ) /\ ( B C_ No /\ B e. W ) /\ A. x e. A A. y e. B x <s y ) -> E. z e. No ( A. x e. A x <s z /\ A. y e. B z <s y /\ ( bday ` z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  conway  31910  etasslt  31920