Theorem conway 31910

Description: Conway's Simplicity Theorem. Given A preceeding B, there is a unique surreal of minimal length separating them. This is a fundamental property of surreals and will be used (via surreal cuts) to prove many properties later on. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
conway	|- ( A < <s B -> E! x e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem conway

Dummy variables p q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltss1 31903	. . . . 5 |- ( A < <s B -> A C_ No )
2		ssltex1 31901	. . . . 5 |- ( A < <s B -> A e. _V )
3		ssltss2 31904	. . . . 5 |- ( A < <s B -> B C_ No )
4		ssltex2 31902	. . . . 5 |- ( A < <s B -> B e. _V )
5		ssltsep 31905	. . . . 5 |- ( A < <s B -> A. p e. A A. q e. B p <s q )
6		noeta 31868	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. p e. A A. q e. B p <s q ) -> E. y e. No ( A. p e. A p <s y /\ A. q e. B y <s q /\ ( bday ` y ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	syl221anc 1337	. . . 4 |- ( A < <s B -> E. y e. No ( A. p e. A p <s y /\ A. q e. B y <s q /\ ( bday ` y ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )
8		3simpa 1058	. . . . . 6 |- ( ( A. p e. A p <s y /\ A. q e. B y <s q /\ ( bday ` y ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) -> ( A. p e. A p <s y /\ A. q e. B y <s q ) )
9	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. p e. A p <s y ) -> A e. _V )
10		snex 4908	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. _V
11	9, 10	jctir 561	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. p e. A p <s y ) -> ( A e. _V /\ { y } e. _V ) )
12	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. p e. A p <s y ) -> A C_ No )
13		snssi 4339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. No -> { y } C_ No )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A < <s B /\ y e. No ) -> { y } C_ No )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. p e. A p <s y ) -> { y } C_ No )
16		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
17		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = y -> ( p <s q <-> p <s y ) )
18	16, 17	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. q e. { y } p <s q <-> p <s y )
19	18	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. p e. A A. q e. { y } p <s q <-> A. p e. A p <s y )
20	19	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. A p <s y -> A. p e. A A. q e. { y } p <s q )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. p e. A p <s y ) -> A. p e. A A. q e. { y } p <s q )
22	12, 15, 21	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. p e. A p <s y ) -> ( A C_ No /\ { y } C_ No /\ A. p e. A A. q e. { y } p <s q ) )
23		brsslt 31900	. . . . . . . . 9 |- ( A < <s { y } <-> ( ( A e. _V /\ { y } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { y } C_ No /\ A. p e. A A. q e. { y } p <s q ) ) )
24	11, 22, 23	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. p e. A p <s y ) -> A < <s { y } )
25	24	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( A < <s B /\ y e. No ) -> ( A. p e. A p <s y -> A < <s { y } ) )
26	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. q e. B y <s q ) -> B e. _V )
27	26, 10	jctil 560	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. q e. B y <s q ) -> ( { y } e. _V /\ B e. _V ) )
28	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. q e. B y <s q ) -> { y } C_ No )
29	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. q e. B y <s q ) -> B C_ No )
30		ralcom 3098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. p e. { y } A. q e. B p <s q <-> A. q e. B A. p e. { y } p <s q )
31		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = y -> ( p <s q <-> y <s q ) )
32	16, 31	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. p e. { y } p <s q <-> y <s q )
33	32	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. q e. B A. p e. { y } p <s q <-> A. q e. B y <s q )
34	30, 33	sylbbr 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. B y <s q -> A. p e. { y } A. q e. B p <s q )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. q e. B y <s q ) -> A. p e. { y } A. q e. B p <s q )
36	28, 29, 35	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. q e. B y <s q ) -> ( { y } C_ No /\ B C_ No /\ A. p e. { y } A. q e. B p <s q ) )
37		brsslt 31900	. . . . . . . . 9 |- ( { y } < <s B <-> ( ( { y } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { y } C_ No /\ B C_ No /\ A. p e. { y } A. q e. B p <s q ) ) )
38	27, 36, 37	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ y e. No ) /\ A. q e. B y <s q ) -> { y } < <s B )
39	38	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( A < <s B /\ y e. No ) -> ( A. q e. B y <s q -> { y } < <s B ) )
40	25, 39	anim12d 586	. . . . . 6 |- ( ( A < <s B /\ y e. No ) -> ( ( A. p e. A p <s y /\ A. q e. B y <s q ) -> ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) ) )
41	8, 40	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ y e. No ) -> ( ( A. p e. A p <s y /\ A. q e. B y <s q /\ ( bday ` y ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) -> ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) ) )
42	41	reximdva 3017	. . . 4 |- ( A < <s B -> ( E. y e. No ( A. p e. A p <s y /\ A. q e. B y <s q /\ ( bday ` y ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) -> E. y e. No ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) ) )
43	7, 42	mpd 15	. . 3 |- ( A < <s B -> E. y e. No ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) )
44		rabn0 3958	. . 3 |- ( { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } =/= (/) <-> E. y e. No ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) )
45	43, 44	sylibr 224	. 2 |- ( A < <s B -> { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } =/= (/) )
46		ssrab2 3687	. . 3 |- { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } C_ No
47	46	a1i 11	. 2 |- ( A < <s B -> { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } C_ No )
48		simplr3 1105	. . . . . 6 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> r e. No )
49	2	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A e. _V )
50		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { r } e. _V
51	49, 50	jctir 561	. . . . . . 7 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> ( A e. _V /\ { r } e. _V ) )
52	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A C_ No )
53		snssi 4339	. . . . . . . . 9 |- ( r e. No -> { r } C_ No )
54	48, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> { r } C_ No )
55	52	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ x e. A ) -> x e. No )
56		simplr1 1103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> p e. No )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ x e. A ) -> p e. No )
58	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ x e. A ) -> r e. No )
59		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) -> A < <s { p } )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A < <s { p } )
61		ssltsep 31905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A < <s { p } -> A. x e. A A. y e. { p } x <s y )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A. x e. A A. y e. { p } x <s y )
63	62	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ x e. A ) -> A. y e. { p } x <s y )
64		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- p e. _V
65		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = p -> ( x <s y <-> x <s p ) )
66	64, 65	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. { p } x <s y <-> x <s p )
67	63, 66	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ x e. A ) -> x <s p )
68		simprrl 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> p <s r )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ x e. A ) -> p <s r )
70	55, 57, 58, 67, 69	slttrd 31884	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ x e. A ) -> x <s r )
71		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
72		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( x <s y <-> x <s r ) )
73	71, 72	ralsn 4222	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. { r } x <s y <-> x <s r )
74	70, 73	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ x e. A ) -> A. y e. { r } x <s y )
75	74	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A. x e. A A. y e. { r } x <s y )
76	52, 54, 75	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> ( A C_ No /\ { r } C_ No /\ A. x e. A A. y e. { r } x <s y ) )
77		brsslt 31900	. . . . . . 7 |- ( A < <s { r } <-> ( ( A e. _V /\ { r } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { r } C_ No /\ A. x e. A A. y e. { r } x <s y ) ) )
78	51, 76, 77	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A < <s { r } )
79	4	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> B e. _V )
80	79, 50	jctil 560	. . . . . . 7 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> ( { r } e. _V /\ B e. _V ) )
81	3	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> B C_ No )
82	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ y e. B ) -> r e. No )
83		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> q e. No )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ y e. B ) -> q e. No )
85	81	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ y e. B ) -> y e. No )
86		simprrr 805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> r <s q )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ y e. B ) -> r <s q )
88		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) -> { q } < <s B )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> { q } < <s B )
90		ssltsep 31905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { q } < <s B -> A. x e. { q } A. y e. B x <s y )
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A. x e. { q } A. y e. B x <s y )
92		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- q e. _V
93		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = q -> ( x <s y <-> q <s y ) )
94	93	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = q -> ( A. y e. B x <s y <-> A. y e. B q <s y ) )
95	92, 94	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. { q } A. y e. B x <s y <-> A. y e. B q <s y )
96	91, 95	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A. y e. B q <s y )
97	96	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ y e. B ) -> q <s y )
98	82, 84, 85, 87, 97	slttrd 31884	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) /\ y e. B ) -> r <s y )
99	98	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A. y e. B r <s y )
100		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = r -> ( x <s y <-> r <s y ) )
101	100	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( x = r -> ( A. y e. B x <s y <-> A. y e. B r <s y ) )
102	71, 101	ralsn 4222	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. { r } A. y e. B x <s y <-> A. y e. B r <s y )
103	99, 102	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> A. x e. { r } A. y e. B x <s y )
104	54, 81, 103	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> ( { r } C_ No /\ B C_ No /\ A. x e. { r } A. y e. B x <s y ) )
105		brsslt 31900	. . . . . . 7 |- ( { r } < <s B <-> ( ( { r } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { r } C_ No /\ B C_ No /\ A. x e. { r } A. y e. B x <s y ) ) )
106	80, 104, 105	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> { r } < <s B )
107	48, 78, 106	jca32 558	. . . . 5 |- ( ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) /\ ( ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) /\ ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) /\ ( p <s r /\ r <s q ) ) ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) )
108	107	exp44 641	. . . 4 |- ( ( A < <s B /\ ( p e. No /\ q e. No /\ r e. No ) ) -> ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
109	108	ralrimivvva 2972	. . 3 |- ( A < <s B -> A. p e. No A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
110		sneq 4187	. . . . . . 7 |- ( y = p -> { y } = { p } )
111	110	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( y = p -> ( A < <s { y } <-> A < <s { p } ) )
112	110	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( y = p -> ( { y } < <s B <-> { p } < <s B ) )
113	111, 112	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( y = p -> ( ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) <-> ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) ) )
114	113	ralrab 3368	. . . 4 |- ( A. p e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) <-> A. p e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
115		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( y = q -> { y } = { q } )
116	115	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( y = q -> ( A < <s { y } <-> A < <s { q } ) )
117	115	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( y = q -> ( { y } < <s B <-> { q } < <s B ) )
118	116, 117	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = q -> ( ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) <-> ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) ) )
119	118	ralrab 3368	. . . . . 6 |- ( A. q e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) <-> A. q e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) )
120		sneq 4187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = r -> { y } = { r } )
121	120	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( A < <s { y } <-> A < <s { r } ) )
122	120	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( { y } < <s B <-> { r } < <s B ) )
123	121, 122	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( y = r -> ( ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) <-> ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) )
124	123	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } <-> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) )
125	124	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p <s r /\ r <s q ) -> r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) <-> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) )
126	125	ralbii 2980	. . . . . . 7 |- ( A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) <-> A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) )
127	126	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. q e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) <-> A. q e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) )
128		r19.21v 2960	. . . . . . 7 |- ( A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) <-> ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) )
129	128	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) <-> A. q e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) )
130	119, 127, 129	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( A. q e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) <-> A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) )
131	130	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. p e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. q e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) <-> A. p e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) )
132		r19.21v 2960	. . . . . . 7 |- ( A. r e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) <-> ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
133	132	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) <-> A. q e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
134		r19.21v 2960	. . . . . 6 |- ( A. q e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) <-> ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
135	133, 134	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) <-> ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
136	135	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. p e. No A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) <-> A. p e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
137	114, 131, 136	3bitr4i 292	. . 3 |- ( A. p e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. q e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) <-> A. p e. No A. q e. No A. r e. No ( ( A < <s { p } /\ { p } < <s B ) -> ( ( A < <s { q } /\ { q } < <s B ) -> ( ( p <s r /\ r <s q ) -> ( r e. No /\ ( A < <s { r } /\ { r } < <s B ) ) ) ) ) )
138	109, 137	sylibr 224	. 2 |- ( A < <s B -> A. p e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. q e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )
139		nocvxmin 31894	. 2 |- ( ( { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } =/= (/) /\ { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } C_ No /\ A. p e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. q e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } A. r e. No ( ( p <s r /\ r <s q ) -> r e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) ) -> E! x e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )
140	45, 47, 138, 139	syl3anc 1326	1 |- ( A < <s B -> E! x e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   "cima 5117   suc csuc 5725   ` cfv 5888   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795   < <scsslt 31896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798  df-sslt 31897

This theorem is referenced by:  scutcut  31912  scutbday  31913  scutun12  31917  scutbdaylt  31922