Theorem noetalem5 31867

Description: Lemma for noeta 31868. The full statement of the theorem with hypotheses. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetalem.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
noetalem.2	|- Z = ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
noetalem5	|- ( ( ( A C_ No /\ A e. V ) /\ ( B C_ No /\ B e. W ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> E. z e. No ( A. a e. A a <s z /\ A. b e. B z <s b /\ ( bday ` z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, b, g   u, a, A, v, x, y   z, a, A   B, a, b   g, b, x   z, b, B   u, g, v, x, y   S, a, g   v, u, x, y   Z, a, b, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, v, u, g)   S( x, y, z, v, u, b)   V( x, y, z, v, u, g, a, b)   W( x, y, z, v, u, g, a, b)   Z( x, y, v, u, g)

Proof of Theorem noetalem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
2	1	anim2i 593	. 2 |- ( ( A C_ No /\ A e. V ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
3		elex 3212	. . 3 |- ( B e. W -> B e. _V )
4	3	anim2i 593	. 2 |- ( ( B C_ No /\ B e. W ) -> ( B C_ No /\ B e. _V ) )
5		id 22	. 2 |- ( A. a e. A A. b e. B a <s b -> A. a e. A A. b e. B a <s b )
6		simp1l 1085	. . . 4 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> A C_ No )
7		simp1r 1086	. . . 4 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> A e. _V )
8		simp2r 1088	. . . 4 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> B e. _V )
9		noetalem.1	. . . . 5 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
10		noetalem.2	. . . . 5 |- Z = ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
11	9, 10	noetalem1 31863	. . . 4 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ B e. _V ) -> Z e. No )
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> Z e. No )
13		simplll 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ a e. A ) -> A C_ No )
14		simpllr 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ a e. A ) -> A e. _V )
15		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ a e. A ) -> B e. _V )
16		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ a e. A ) -> a e. A )
17	9, 10	noetalem2 31864	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ B e. _V ) /\ a e. A ) -> a <s Z )
18	13, 14, 15, 16, 17	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ a e. A ) -> a <s Z )
19	18	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> A. a e. A a <s Z )
20	19	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> A. a e. A a <s Z )
21	9, 10	noetalem3 31865	. . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> A. b e. B Z <s b )
22	9, 10	noetalem4 31866	. . . 4 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> ( bday ` Z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) )
23	22	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> ( bday ` Z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) )
24		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( z = Z -> ( a <s z <-> a <s Z ) )
25	24	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( A. a e. A a <s z <-> A. a e. A a <s Z ) )
26		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( z = Z -> ( z <s b <-> Z <s b ) )
27	26	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( A. b e. B z <s b <-> A. b e. B Z <s b ) )
28		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( z = Z -> ( bday ` z ) = ( bday ` Z ) )
29	28	sseq1d 3632	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( ( bday ` z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) <-> ( bday ` Z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )
30	25, 27, 29	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( z = Z -> ( ( A. a e. A a <s z /\ A. b e. B z <s b /\ ( bday ` z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) <-> ( A. a e. A a <s Z /\ A. b e. B Z <s b /\ ( bday ` Z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) ) )
31	30	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( Z e. No /\ ( A. a e. A a <s Z /\ A. b e. B Z <s b /\ ( bday ` Z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) ) -> E. z e. No ( A. a e. A a <s z /\ A. b e. B z <s b /\ ( bday ` z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )
32	12, 20, 21, 23, 31	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> E. z e. No ( A. a e. A a <s z /\ A. b e. B z <s b /\ ( bday ` z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )
33	2, 4, 5, 32	syl3an 1368	1 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. V ) /\ ( B C_ No /\ B e. W ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> E. z e. No ( A. a e. A a <s z /\ A. b e. B z <s b /\ ( bday ` z ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  noeta  31868