Theorem etasslt 31920

Description: A restatement of noeta 31868 using set less than. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
etasslt	|- ( A < <s B -> E. x e. No ( A < <s { x } /\ { x } < <s B /\ ( bday ` x ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem etasslt

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltss1 31903	. . 3 |- ( A < <s B -> A C_ No )
2		ssltex1 31901	. . 3 |- ( A < <s B -> A e. _V )
3		ssltss2 31904	. . 3 |- ( A < <s B -> B C_ No )
4		ssltex2 31902	. . 3 |- ( A < <s B -> B e. _V )
5		ssltsep 31905	. . 3 |- ( A < <s B -> A. y e. A A. z e. B y <s z )
6		noeta 31868	. . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. y e. A A. z e. B y <s z ) -> E. x e. No ( A. y e. A y <s x /\ A. z e. B x <s z /\ ( bday ` x ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	syl221anc 1337	. 2 |- ( A < <s B -> E. x e. No ( A. y e. A y <s x /\ A. z e. B x <s z /\ ( bday ` x ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )
8		brsslt 31900	. . . . . 6 |- ( A < <s { x } <-> ( ( A e. _V /\ { x } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { x } C_ No /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) ) )
9		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ No /\ { x } C_ No /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) <-> ( ( A C_ No /\ { x } C_ No ) /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) )
10	9	bianass 842	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. _V /\ { x } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { x } C_ No /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) ) <-> ( ( ( A e. _V /\ { x } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { x } C_ No ) ) /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) )
11	8, 10	bitri 264	. . . . 5 |- ( A < <s { x } <-> ( ( ( A e. _V /\ { x } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { x } C_ No ) ) /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) )
12	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> A e. _V )
13		snex 4908	. . . . . . . . . 10 |- { x } e. _V
14	12, 13	jctir 561	. . . . . . . . 9 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( A e. _V /\ { x } e. _V ) )
15	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> A C_ No )
16		snssi 4339	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. No -> { x } C_ No )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> { x } C_ No )
18	14, 15, 17	jca32 558	. . . . . . . 8 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( ( A e. _V /\ { x } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { x } C_ No ) ) )
19	18	biantrurd 529	. . . . . . 7 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( A. y e. A A. z e. { x } y <s z <-> ( ( ( A e. _V /\ { x } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { x } C_ No ) ) /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) ) )
20	19	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( ( ( ( A e. _V /\ { x } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { x } C_ No ) ) /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) <-> A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) )
21		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
22		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( y <s z <-> y <s x ) )
23	21, 22	ralsn 4222	. . . . . . 7 |- ( A. z e. { x } y <s z <-> y <s x )
24	23	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. y e. A A. z e. { x } y <s z <-> A. y e. A y <s x )
25	20, 24	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( ( ( ( A e. _V /\ { x } e. _V ) /\ ( A C_ No /\ { x } C_ No ) ) /\ A. y e. A A. z e. { x } y <s z ) <-> A. y e. A y <s x ) )
26	11, 25	syl5bb 272	. . . 4 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( A < <s { x } <-> A. y e. A y <s x ) )
27		brsslt 31900	. . . . . . 7 |- ( { x } < <s B <-> ( ( { x } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { x } C_ No /\ B C_ No /\ A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) ) )
28		df-3an 1039	. . . . . . . 8 |- ( ( { x } C_ No /\ B C_ No /\ A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) <-> ( ( { x } C_ No /\ B C_ No ) /\ A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) )
29	28	bianass 842	. . . . . . 7 |- ( ( ( { x } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { x } C_ No /\ B C_ No /\ A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) ) <-> ( ( ( { x } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { x } C_ No /\ B C_ No ) ) /\ A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) )
30	27, 29	bitri 264	. . . . . 6 |- ( { x } < <s B <-> ( ( ( { x } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { x } C_ No /\ B C_ No ) ) /\ A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) )
31	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> B e. _V )
32	31, 13	jctil 560	. . . . . . . . 9 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( { x } e. _V /\ B e. _V ) )
33	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> B C_ No )
34	32, 17, 33	jca32 558	. . . . . . . 8 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( ( { x } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { x } C_ No /\ B C_ No ) ) )
35	34	biantrurd 529	. . . . . . 7 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( A. y e. { x } A. z e. B y <s z <-> ( ( ( { x } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { x } C_ No /\ B C_ No ) ) /\ A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) ) )
36	35	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( ( ( ( { x } e. _V /\ B e. _V ) /\ ( { x } C_ No /\ B C_ No ) ) /\ A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) <-> A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) )
37	30, 36	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( { x } < <s B <-> A. y e. { x } A. z e. B y <s z ) )
38		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y <s z <-> x <s z ) )
39	38	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. z e. B y <s z <-> A. z e. B x <s z ) )
40	21, 39	ralsn 4222	. . . . 5 |- ( A. y e. { x } A. z e. B y <s z <-> A. z e. B x <s z )
41	37, 40	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( { x } < <s B <-> A. z e. B x <s z ) )
42	26, 41	3anbi12d 1400	. . 3 |- ( ( A < <s B /\ x e. No ) -> ( ( A < <s { x } /\ { x } < <s B /\ ( bday ` x ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) <-> ( A. y e. A y <s x /\ A. z e. B x <s z /\ ( bday ` x ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) ) )
43	42	rexbidva 3049	. 2 |- ( A < <s B -> ( E. x e. No ( A < <s { x } /\ { x } < <s B /\ ( bday ` x ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) <-> E. x e. No ( A. y e. A y <s x /\ A. z e. B x <s z /\ ( bday ` x ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) ) )
44	7, 43	mpbird 247	1 |- ( A < <s B -> E. x e. No ( A < <s { x } /\ { x } < <s B /\ ( bday ` x ) C_ suc U. ( bday " ( A u. B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   "cima 5117   suc csuc 5725   ` cfv 5888   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795   < <scsslt 31896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798  df-sslt 31897

This theorem is referenced by:  scutbdaybnd  31921