Theorem noextend 31819

Description: Extending a surreal by one sign value results in a new surreal. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
noextend.1	|- X e. { 1o , 2o }

Assertion

Ref	Expression
noextend	|- ( A e. No -> ( A u. { <. dom A , X >. } ) e. No )

Proof of Theorem noextend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nofun 31802	. . 3 |- ( A e. No -> Fun A )
2		dmexg 7097	. . . 4 |- ( A e. No -> dom A e. _V )
3		noextend.1	. . . 4 |- X e. { 1o , 2o }
4		funsng 5937	. . . 4 |- ( ( dom A e. _V /\ X e. { 1o , 2o } ) -> Fun { <. dom A , X >. } )
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . 3 |- ( A e. No -> Fun { <. dom A , X >. } )
6	3	elexi 3213	. . . . . 6 |- X e. _V
7	6	dmsnop 5609	. . . . 5 |- dom { <. dom A , X >. } = { dom A }
8	7	ineq2i 3811	. . . 4 |- ( dom A i^i dom { <. dom A , X >. } ) = ( dom A i^i { dom A } )
9		nodmord 31806	. . . . . 6 |- ( A e. No -> Ord dom A )
10		ordirr 5741	. . . . . 6 |- ( Ord dom A -> -. dom A e. dom A )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. No -> -. dom A e. dom A )
12		disjsn 4246	. . . . 5 |- ( ( dom A i^i { dom A } ) = (/) <-> -. dom A e. dom A )
13	11, 12	sylibr 224	. . . 4 |- ( A e. No -> ( dom A i^i { dom A } ) = (/) )
14	8, 13	syl5eq 2668	. . 3 |- ( A e. No -> ( dom A i^i dom { <. dom A , X >. } ) = (/) )
15		funun 5932	. . 3 |- ( ( ( Fun A /\ Fun { <. dom A , X >. } ) /\ ( dom A i^i dom { <. dom A , X >. } ) = (/) ) -> Fun ( A u. { <. dom A , X >. } ) )
16	1, 5, 14, 15	syl21anc 1325	. 2 |- ( A e. No -> Fun ( A u. { <. dom A , X >. } ) )
17	7	uneq2i 3764	. . . 4 |- ( dom A u. dom { <. dom A , X >. } ) = ( dom A u. { dom A } )
18		dmun 5331	. . . 4 |- dom ( A u. { <. dom A , X >. } ) = ( dom A u. dom { <. dom A , X >. } )
19		df-suc 5729	. . . 4 |- suc dom A = ( dom A u. { dom A } )
20	17, 18, 19	3eqtr4i 2654	. . 3 |- dom ( A u. { <. dom A , X >. } ) = suc dom A
21		nodmon 31803	. . . 4 |- ( A e. No -> dom A e. On )
22		suceloni 7013	. . . 4 |- ( dom A e. On -> suc dom A e. On )
23	21, 22	syl 17	. . 3 |- ( A e. No -> suc dom A e. On )
24	20, 23	syl5eqel 2705	. 2 |- ( A e. No -> dom ( A u. { <. dom A , X >. } ) e. On )
25		rnun 5541	. . . 4 |- ran ( A u. { <. dom A , X >. } ) = ( ran A u. ran { <. dom A , X >. } )
26		rnsnopg 5614	. . . . . 6 |- ( dom A e. _V -> ran { <. dom A , X >. } = { X } )
27	2, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. No -> ran { <. dom A , X >. } = { X } )
28	27	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( A e. No -> ( ran A u. ran { <. dom A , X >. } ) = ( ran A u. { X } ) )
29	25, 28	syl5eq 2668	. . 3 |- ( A e. No -> ran ( A u. { <. dom A , X >. } ) = ( ran A u. { X } ) )
30		norn 31804	. . . 4 |- ( A e. No -> ran A C_ { 1o , 2o } )
31		snssi 4339	. . . . 5 |- ( X e. { 1o , 2o } -> { X } C_ { 1o , 2o } )
32	3, 31	mp1i 13	. . . 4 |- ( A e. No -> { X } C_ { 1o , 2o } )
33	30, 32	unssd 3789	. . 3 |- ( A e. No -> ( ran A u. { X } ) C_ { 1o , 2o } )
34	29, 33	eqsstrd 3639	. 2 |- ( A e. No -> ran ( A u. { <. dom A , X >. } ) C_ { 1o , 2o } )
35		elno2 31807	. 2 |- ( ( A u. { <. dom A , X >. } ) e. No <-> ( Fun ( A u. { <. dom A , X >. } ) /\ dom ( A u. { <. dom A , X >. } ) e. On /\ ran ( A u. { <. dom A , X >. } ) C_ { 1o , 2o } ) )
36	16, 24, 34, 35	syl3anbrc 1246	1 |- ( A e. No -> ( A u. { <. dom A , X >. } ) e. No )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   dom cdm 5114   ran crn 5115   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-no 31796

This theorem is referenced by:  noextendlt  31822  noextendgt  31823  nosupno  31849  nosupbnd1  31860  nosupbnd2lem1  31861