Theorem noextendgt 31823

Description: Extending a surreal with a positive sign results in a bigger surreal. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
noextendgt	|- ( A e. No -> A <s ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) )

Proof of Theorem noextendgt

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nodmord 31806	. . . . . . . 8 |- ( A e. No -> Ord dom A )
2		ordirr 5741	. . . . . . . 8 |- ( Ord dom A -> -. dom A e. dom A )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. No -> -. dom A e. dom A )
4		ndmfv 6218	. . . . . . 7 |- ( -. dom A e. dom A -> ( A ` dom A ) = (/) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. No -> ( A ` dom A ) = (/) )
6		nofun 31802	. . . . . . . . 9 |- ( A e. No -> Fun A )
7		funfn 5918	. . . . . . . . 9 |- ( Fun A <-> A Fn dom A )
8	6, 7	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( A e. No -> A Fn dom A )
9		nodmon 31803	. . . . . . . . 9 |- ( A e. No -> dom A e. On )
10		2on 7568	. . . . . . . . 9 |- 2o e. On
11		fnsng 5938	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom A e. On /\ 2o e. On ) -> { <. dom A , 2o >. } Fn { dom A } )
12	9, 10, 11	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( A e. No -> { <. dom A , 2o >. } Fn { dom A } )
13		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom A i^i { dom A } ) = (/) <-> -. dom A e. dom A )
14	3, 13	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( A e. No -> ( dom A i^i { dom A } ) = (/) )
15		snidg 4206	. . . . . . . . 9 |- ( dom A e. On -> dom A e. { dom A } )
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. No -> dom A e. { dom A } )
17		fvun2 6270	. . . . . . . 8 |- ( ( A Fn dom A /\ { <. dom A , 2o >. } Fn { dom A } /\ ( ( dom A i^i { dom A } ) = (/) /\ dom A e. { dom A } ) ) -> ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = ( { <. dom A , 2o >. } ` dom A ) )
18	8, 12, 14, 16, 17	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( A e. No -> ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = ( { <. dom A , 2o >. } ` dom A ) )
19		fvsng 6447	. . . . . . . 8 |- ( ( dom A e. On /\ 2o e. On ) -> ( { <. dom A , 2o >. } ` dom A ) = 2o )
20	9, 10, 19	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( A e. No -> ( { <. dom A , 2o >. } ` dom A ) = 2o )
21	18, 20	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( A e. No -> ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = 2o )
22	5, 21	jca 554	. . . . 5 |- ( A e. No -> ( ( A ` dom A ) = (/) /\ ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = 2o ) )
23	22	3mix3d 1238	. . . 4 |- ( A e. No -> ( ( ( A ` dom A ) = 1o /\ ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = (/) ) \/ ( ( A ` dom A ) = 1o /\ ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = 2o ) \/ ( ( A ` dom A ) = (/) /\ ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = 2o ) ) )
24		fvex 6201	. . . . 5 |- ( A ` dom A ) e. _V
25		fvex 6201	. . . . 5 |- ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) e. _V
26	24, 25	brtp 31639	. . . 4 |- ( ( A ` dom A ) { <. 1o , (/) >. , <. 1o , 2o >. , <. (/) , 2o >. } ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) <-> ( ( ( A ` dom A ) = 1o /\ ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = (/) ) \/ ( ( A ` dom A ) = 1o /\ ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = 2o ) \/ ( ( A ` dom A ) = (/) /\ ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) = 2o ) ) )
27	23, 26	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. No -> ( A ` dom A ) { <. 1o , (/) >. , <. 1o , 2o >. , <. (/) , 2o >. } ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) )
28	10	elexi 3213	. . . . . 6 |- 2o e. _V
29	28	prid2 4298	. . . . 5 |- 2o e. { 1o , 2o }
30	29	noextenddif 31821	. . . 4 |- ( A e. No -> |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } = dom A )
31	30	fveq2d 6195	. . 3 |- ( A e. No -> ( A ` |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } ) = ( A ` dom A ) )
32	30	fveq2d 6195	. . 3 |- ( A e. No -> ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } ) = ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` dom A ) )
33	27, 31, 32	3brtr4d 4685	. 2 |- ( A e. No -> ( A ` |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } ) { <. 1o , (/) >. , <. 1o , 2o >. , <. (/) , 2o >. } ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } ) )
34	29	noextend 31819	. . 3 |- ( A e. No -> ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) e. No )
35		sltval2 31809	. . 3 |- ( ( A e. No /\ ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) e. No ) -> ( A <s ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) <-> ( A ` |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } ) { <. 1o , (/) >. , <. 1o , 2o >. , <. (/) , 2o >. } ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } ) ) )
36	34, 35	mpdan 702	. 2 |- ( A e. No -> ( A <s ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) <-> ( A ` |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } ) { <. 1o , (/) >. , <. 1o , 2o >. , <. (/) , 2o >. } ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) ` x ) } ) ) )
37	33, 36	mpbird 247	1 |- ( A e. No -> A <s ( A u. { <. dom A , 2o >. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   {ctp 4181   <.cop 4183   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797

This theorem is referenced by:  nosupbnd1  31860