Theorem nosepon 31818

Description: Given two unequal surreals, the minimal ordinal at which they differ is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nosepon	|- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A =/= B ) -> |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( B ` x ) } e. On )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nosepon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2795	. . . . . . . 8 |- ( ( A ` x ) =/= ( B ` x ) <-> -. ( A ` x ) = ( B ` x ) )
2	1	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. x e. On ( A ` x ) =/= ( B ` x ) <-> E. x e. On -. ( A ` x ) = ( B ` x ) )
3	2	notbii 310	. . . . . 6 |- ( -. E. x e. On ( A ` x ) =/= ( B ` x ) <-> -. E. x e. On -. ( A ` x ) = ( B ` x ) )
4		dfral2 2994	. . . . . 6 |- ( A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) <-> -. E. x e. On -. ( A ` x ) = ( B ` x ) )
5	3, 4	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( -. E. x e. On ( A ` x ) =/= ( B ` x ) <-> A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) )
6		nodmord 31806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. No -> Ord dom A )
7		nodmord 31806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. No -> Ord dom B )
8		ordtri3or 5755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom A /\ Ord dom B ) -> ( dom A e. dom B \/ dom A = dom B \/ dom B e. dom A ) )
9	6, 7, 8	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( dom A e. dom B \/ dom A = dom B \/ dom B e. dom A ) )
10		3orass 1040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom A e. dom B \/ dom A = dom B \/ dom B e. dom A ) <-> ( dom A e. dom B \/ ( dom A = dom B \/ dom B e. dom A ) ) )
11		or12 545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom A e. dom B \/ ( dom A = dom B \/ dom B e. dom A ) ) <-> ( dom A = dom B \/ ( dom A e. dom B \/ dom B e. dom A ) ) )
12	10, 11	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom A e. dom B \/ dom A = dom B \/ dom B e. dom A ) <-> ( dom A = dom B \/ ( dom A e. dom B \/ dom B e. dom A ) ) )
13	9, 12	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( dom A = dom B \/ ( dom A e. dom B \/ dom B e. dom A ) ) )
14	13	ord 392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( -. dom A = dom B -> ( dom A e. dom B \/ dom B e. dom A ) ) )
15		noseponlem 31817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ dom A e. dom B ) -> -. A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) )
16	15	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( dom A e. dom B -> -. A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) )
17		noseponlem 31817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. No /\ A e. No /\ dom B e. dom A ) -> -. A. x e. On ( B ` x ) = ( A ` x ) )
18		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ` x ) = ( B ` x ) <-> ( B ` x ) = ( A ` x ) )
19	18	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) <-> A. x e. On ( B ` x ) = ( A ` x ) )
20	17, 19	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. No /\ A e. No /\ dom B e. dom A ) -> -. A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) )
21	20	3expia 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. No /\ A e. No ) -> ( dom B e. dom A -> -. A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) )
22	21	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( dom B e. dom A -> -. A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) )
23	16, 22	jaod 395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( ( dom A e. dom B \/ dom B e. dom A ) -> -. A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) )
24	14, 23	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( -. dom A = dom B -> -. A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) )
25	24	con4d 114	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) -> dom A = dom B ) )
26	25	3impia 1261	. . . . . . 7 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) -> dom A = dom B )
27		ordsson 6989	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom A -> dom A C_ On )
28		ssralv 3666	. . . . . . . . . 10 |- ( dom A C_ On -> ( A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) -> A. x e. dom A ( A ` x ) = ( B ` x ) ) )
29	6, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( A e. No -> ( A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) -> A. x e. dom A ( A ` x ) = ( B ` x ) ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) -> A. x e. dom A ( A ` x ) = ( B ` x ) ) )
31	30	3impia 1261	. . . . . . 7 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) -> A. x e. dom A ( A ` x ) = ( B ` x ) )
32		nofun 31802	. . . . . . . . 9 |- ( A e. No -> Fun A )
33	32	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) -> Fun A )
34		nofun 31802	. . . . . . . . 9 |- ( B e. No -> Fun B )
35	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) -> Fun B )
36		eqfunfv 6316	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun A /\ Fun B ) -> ( A = B <-> ( dom A = dom B /\ A. x e. dom A ( A ` x ) = ( B ` x ) ) ) )
37	33, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) -> ( A = B <-> ( dom A = dom B /\ A. x e. dom A ( A ` x ) = ( B ` x ) ) ) )
38	26, 31, 37	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) ) -> A = B )
39	38	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A. x e. On ( A ` x ) = ( B ` x ) -> A = B ) )
40	5, 39	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( -. E. x e. On ( A ` x ) =/= ( B ` x ) -> A = B ) )
41	40	necon1ad 2811	. . 3 |- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A =/= B -> E. x e. On ( A ` x ) =/= ( B ` x ) ) )
42	41	3impia 1261	. 2 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A =/= B ) -> E. x e. On ( A ` x ) =/= ( B ` x ) )
43		onintrab2 7002	. 2 |- ( E. x e. On ( A ` x ) =/= ( B ` x ) <-> |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( B ` x ) } e. On )
44	42, 43	sylib 208	1 |- ( ( A e. No /\ B e. No /\ A =/= B ) -> |^| { x e. On | ( A ` x ) =/= ( B ` x ) } e. On )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   |^|cint 4475   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   Nocsur 31793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796

This theorem is referenced by:  nosepeq  31835  nosepssdm  31836  nodenselem4  31837  noresle  31846  nosupbnd2lem1  31861  noetalem3  31865