Theorem nosupbnd1 31860

Description: Bounding law from below for the surreal supremum. Proposition 4.2 of [Lipparini] p. 6. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1	|- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) -> ( U |` dom S ) <s S )

Distinct variable groups:   A, g, u, v, x, y   u, U, v, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   U( g)

Proof of Theorem nosupbnd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> U e. A )
2		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A )
3		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x A
4		nfriota1 6618	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y )
5		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x <s
6		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x y
7	4, 5, 6	nfbr 4699	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y
8	7	nfn 1784	. . . . . . . . . 10 |- F/ x -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y
9	3, 8	nfral 2945	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y
10	2, 9	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) -> A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y )
11		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) )
12		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
14		nomaxmo 31847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ No -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
15	14	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
17		reu5 3159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! x e. A A. y e. A -. x <s y <-> ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ E* x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
18	13, 16, 17	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> E! x e. A A. y e. A -. x <s y )
19		riota1 6629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) <-> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = x ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) <-> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = x ) )
21	11, 20	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = x )
22		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> A. y e. A -. x <s y )
23		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y A. y e. A -. x <s y
24		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y A
25	23, 24	nfriota 6620	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y )
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y x
27	25, 26	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = x
28		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = x -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y <-> x <s y ) )
29	28	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = x -> ( -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y <-> -. x <s y ) )
30	27, 29	ralbid 2983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = x -> ( A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y <-> A. y e. A -. x <s y ) )
31	30	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = x -> ( A. y e. A -. x <s y -> A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y ) )
32	21, 22, 31	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x <s y ) /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y )
33	32	exp31 630	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( A. y e. A -. x <s y -> ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) -> A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y ) ) )
34	10, 33	rexlimi 3024	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) -> A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y ) )
35	34	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y )
36		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y <s
37		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y U
38	25, 36, 37	nfbr 4699	. . . . . . . 8 |- F/ y ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U
39	38	nfn 1784	. . . . . . 7 |- F/ y -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U
40		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( y = U -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y <-> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U ) )
41	40	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( y = U -> ( -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y <-> -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U ) )
42	39, 41	rspc 3303	. . . . . 6 |- ( U e. A -> ( A. y e. A -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s y -> -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U ) )
43	1, 35, 42	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U )
44		simpr1 1067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> A C_ No )
45		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
46	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
47	45, 46, 17	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> E! x e. A A. y e. A -. x <s y )
48		riotacl 6625	. . . . . . . . . . 11 |- ( E! x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. A )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. A )
50	44, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No )
51		nofun 31802	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No -> Fun ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
52		funrel 5905	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) -> Rel ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
53	50, 51, 52	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> Rel ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
54		sssucid 5802	. . . . . . . 8 |- dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y )
55		relssres 5437	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) /\ dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
56	53, 54, 55	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
57	56	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) <-> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) ) )
58	44, 1	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> U e. No )
59		nodmon 31803	. . . . . . . . 9 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No -> dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. On )
60	50, 59	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. On )
61		sucelon 7017	. . . . . . . 8 |- ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. On <-> suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. On )
62	60, 61	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. On )
63		sltres 31815	. . . . . . 7 |- ( ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No /\ U e. No /\ suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. On ) -> ( ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U ) )
64	50, 58, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U ) )
65	57, 64	sylbird 250	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s U ) )
66	43, 65	mtod 189	. . . 4 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) )
67		noextendgt 31823	. . . . 5 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
68	50, 67	syl 17	. . . 4 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
69		noreson 31813	. . . . . 6 |- ( ( U e. No /\ suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. On ) -> ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) e. No )
70	58, 62, 69	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) e. No )
71		2on 7568	. . . . . . . . 9 |- 2o e. On
72	71	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- 2o e. _V
73	72	prid2 4298	. . . . . . 7 |- 2o e. { 1o , 2o }
74	73	noextend 31819	. . . . . 6 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) e. No )
75	50, 74	syl 17	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) e. No )
76		sltso 31827	. . . . . 6 |- <s Or No
77		sotr2 5064	. . . . . 6 |- ( ( <s Or No /\ ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) e. No /\ ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No /\ ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) e. No ) ) -> ( ( -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) /\ ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) ) -> ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) ) )
78	76, 77	mpan 706	. . . . 5 |- ( ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) e. No /\ ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No /\ ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) e. No ) -> ( ( -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) /\ ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) ) -> ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) ) )
79	70, 50, 75, 78	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( ( -. ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) /\ ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) ) -> ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) ) )
80	66, 68, 79	mp2and 715	. . 3 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) <s ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
81		nosupbnd1.1	. . . . . . . 8 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
82		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
83	81, 82	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> S = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
84	83	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
85	72	dmsnop 5609	. . . . . . . 8 |- dom { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } = { dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) }
86	85	uneq2i 3764	. . . . . . 7 |- ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. dom { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) = ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) } )
87		dmun 5331	. . . . . . 7 |- dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) = ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. dom { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } )
88		df-suc 5729	. . . . . . 7 |- suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) } )
89	86, 87, 88	3eqtr4i 2654	. . . . . 6 |- dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) = suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y )
90	84, 89	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
91	90	adantr 481	. . . 4 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> dom S = suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
92	91	reseq2d 5396	. . 3 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( U |` dom S ) = ( U |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) )
93	83	adantr 481	. . 3 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> S = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
94	80, 92, 93	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( U |` dom S ) <s S )
95		simpl 473	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
96		simpr1 1067	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> A C_ No )
97		simpr2 1068	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> A e. _V )
98		simpr3 1069	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> U e. A )
99	81	nosupbnd1lem6 31859	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( U |` dom S ) <s S )
100	95, 96, 97, 98, 99	syl121anc 1331	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) ) -> ( U |` dom S ) <s S )
101	94, 100	pm2.61ian 831	1 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ U e. A ) -> ( U |` dom S ) <s S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nosupbnd2  31862  noetalem2  31864