Theorem nvmval 27497

Description: Value of vector subtraction on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nvmval.2	|- G = ( +v ` U )
nvmval.4	|- S = ( .sOLD ` U )
nvmval.3	|- M = ( -v ` U )

Assertion

Ref	Expression
nvmval	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A M B ) = ( A G ( -u 1 S B ) ) )

Proof of Theorem nvmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmval.2	. . . 4 |- G = ( +v ` U )
2	1	nvgrp 27472	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> G e. GrpOp )
3		nvmval.1	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
4	3, 1	bafval 27459	. . . 4 |- X = ran G
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( inv ` G ) = ( inv ` G )
6		eqid 2622	. . . 4 |- ( /g ` G ) = ( /g ` G )
7	4, 5, 6	grpodivval 27389	. . 3 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( /g ` G ) B ) = ( A G ( ( inv ` G ) ` B ) ) )
8	2, 7	syl3an1 1359	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( /g ` G ) B ) = ( A G ( ( inv ` G ) ` B ) ) )
9		nvmval.3	. . 3 |- M = ( -v ` U )
10	3, 1, 9, 6	nvm 27496	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A M B ) = ( A ( /g ` G ) B ) )
11		nvmval.4	. . . . 5 |- S = ( .sOLD ` U )
12	3, 1, 11, 5	nvinv 27494	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) = ( ( inv ` G ) ` B ) )
13	12	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) = ( ( inv ` G ) ` B ) )
14	13	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) = ( A G ( ( inv ` G ) ` B ) ) )
15	8, 10, 14	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A M B ) = ( A G ( -u 1 S B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   -ucneg 10267   GrpOpcgr 27343   invcgn 27345   /g cgs 27346   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   -vcnsb 27444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  nvmval2  27498  nvmdi  27503  nvpncan2  27508  nvaddsub4  27512  nvmtri  27526  imsdval2  27542  nvnd  27543  ipval3  27564  sspmval  27588  isph  27677  dipsubdir  27703