Theorem nvnd 27543

Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvnd.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nvnd.5	|- Z = ( 0vec ` U )
nvnd.6	|- N = ( normCV ` U )
nvnd.8	|- D = ( IndMet ` U )

Assertion

Ref	Expression
nvnd	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( N ` A ) = ( A D Z ) )

Proof of Theorem nvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvnd.1	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
2		nvnd.5	. . . . 5 |- Z = ( 0vec ` U )
3	1, 2	nvzcl 27489	. . . 4 |- ( U e. NrmCVec -> Z e. X )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> Z e. X )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
6		nvnd.6	. . . 4 |- N = ( normCV ` U )
7		nvnd.8	. . . 4 |- D = ( IndMet ` U )
8	1, 5, 6, 7	imsdval 27541	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X ) -> ( A D Z ) = ( N ` ( A ( -v ` U ) Z ) ) )
9	4, 8	mpd3an3 1425	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A D Z ) = ( N ` ( A ( -v ` U ) Z ) ) )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
12	1, 10, 11, 5	nvmval 27497	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X ) -> ( A ( -v ` U ) Z ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) Z ) ) )
13	4, 12	mpd3an3 1425	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A ( -v ` U ) Z ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) Z ) ) )
14		neg1cn 11124	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
15	11, 2	nvsz 27493	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC ) -> ( -u 1 ( .sOLD ` U ) Z ) = Z )
16	14, 15	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> ( -u 1 ( .sOLD ` U ) Z ) = Z )
17	16	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) Z ) ) = ( A ( +v ` U ) Z ) )
18	17	adantr 481	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) Z ) ) = ( A ( +v ` U ) Z ) )
19	1, 10, 2	nv0rid 27490	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A ( +v ` U ) Z ) = A )
20	13, 18, 19	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A ( -v ` U ) Z ) = A )
21	20	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( N ` ( A ( -v ` U ) Z ) ) = ( N ` A ) )
22	9, 21	eqtr2d 2657	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( N ` A ) = ( A D Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   -ucneg 10267   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456

This theorem is referenced by:  ubthlem1  27726