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Theorem omsmo 7734
Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmo |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> F : om -1-1-> A )
Distinct variable group:   x, F
Allowed substitution hint:   A( x)
Proof of Theorem omsmo
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 792 . 2 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> F : om --> A )
2 omsmolem 7733 . . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( y e. z -> ( F ` y ) e. ( F ` z ) ) ) )
32adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( y e. z -> ( F ` y ) e. ( F ` z ) ) ) )
43imp 445 . . . . . . 7 |- ( ( ( y e. om /\ z e. om ) /\ ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) ) -> ( y e. z -> ( F ` y ) e. ( F ` z ) ) )
5 omsmolem 7733 . . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )
65adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )
76imp 445 . . . . . . 7 |- ( ( ( y e. om /\ z e. om ) /\ ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) ) -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) )
84, 7orim12d 883 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. om /\ z e. om ) /\ ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) ) -> ( ( y e. z \/ z e. y ) -> ( ( F ` y ) e. ( F ` z ) \/ ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )
98ancoms 469 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( y e. z \/ z e. y ) -> ( ( F ` y ) e. ( F ` z ) \/ ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )
109con3d 148 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( -. ( ( F ` y ) e. ( F ` z ) \/ ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) -> -. ( y e. z \/ z e. y ) ) )
11 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : om --> A /\ y e. om ) -> ( F ` y ) e. A )
12 ssel 3597 . . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ On -> ( ( F ` y ) e. A -> ( F ` y ) e. On ) )
1311, 12syl5 34 . . . . . . . . . 10 |- ( A C_ On -> ( ( F : om --> A /\ y e. om ) -> ( F ` y ) e. On ) )
1413expdimp 453 . . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) -> ( y e. om -> ( F ` y ) e. On ) )
15 eloni 5733 . . . . . . . . 9 |- ( ( F ` y ) e. On -> Ord ( F ` y ) )
1614, 15syl6 35 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) -> ( y e. om -> Ord ( F ` y ) ) )
17 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : om --> A /\ z e. om ) -> ( F ` z ) e. A )
18 ssel 3597 . . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ On -> ( ( F ` z ) e. A -> ( F ` z ) e. On ) )
1917, 18syl5 34 . . . . . . . . . 10 |- ( A C_ On -> ( ( F : om --> A /\ z e. om ) -> ( F ` z ) e. On ) )
2019expdimp 453 . . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. On ) )
21 eloni 5733 . . . . . . . . 9 |- ( ( F ` z ) e. On -> Ord ( F ` z ) )
2220, 21syl6 35 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) -> ( z e. om -> Ord ( F ` z ) ) )
2316, 22anim12d 586 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) -> ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( Ord ( F ` y ) /\ Ord ( F ` z ) ) ) )
2423imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( Ord ( F ` y ) /\ Ord ( F ` z ) ) )
25 ordtri3 5759 . . . . . 6 |- ( ( Ord ( F ` y ) /\ Ord ( F ` z ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> -. ( ( F ` y ) e. ( F ` z ) \/ ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )
2624, 25syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> -. ( ( F ` y ) e. ( F ` z ) \/ ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )
2726adantlr 751 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> -. ( ( F ` y ) e. ( F ` z ) \/ ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )
28 nnord 7073 . . . . . 6 |- ( y e. om -> Ord y )
29 nnord 7073 . . . . . 6 |- ( z e. om -> Ord z )
30 ordtri3 5759 . . . . . 6 |- ( ( Ord y /\ Ord z ) -> ( y = z <-> -. ( y e. z \/ z e. y ) ) )
3128, 29, 30syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y = z <-> -. ( y e. z \/ z e. y ) ) )
3231adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( y = z <-> -. ( y e. z \/ z e. y ) ) )
3310, 27, 323imtr4d 283 . . 3 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
3433ralrimivva 2971 . 2 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> A. y e. om A. z e. om ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
35 dff13 6512 . 2 |- ( F : om -1-1-> A <-> ( F : om --> A /\ A. y e. om A. z e. om ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
361, 34, 35sylanbrc 698 1 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> F : om -1-1-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   omcom 7065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896  df-om 7066
This theorem is referenced by:  unblem4  8215
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