Theorem unblem4 8215

Description: Lemma for unbnn 8216. The function F maps the set of natural numbers one-to-one to the set of unbounded natural numbers A. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
unblem.2	|- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
unblem4	|- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> F : om -1-1-> A )

Distinct variable groups:   w, v, x, A   v, F, w

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem unblem4

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 7069	. . . 4 |- om C_ On
2		sstr 3611	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ om C_ On ) -> A C_ On )
3	1, 2	mpan2 707	. . 3 |- ( A C_ om -> A C_ On )
4	3	adantr 481	. 2 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> A C_ On )
5		frfnom 7530	. . . 4 |- ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) Fn om
6		unblem.2	. . . . 5 |- F = ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om )
7	6	fneq1i 5985	. . . 4 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( x e. _V |-> |^| ( A \ suc x ) ) , |^| A ) |` om ) Fn om )
8	5, 7	mpbir 221	. . 3 |- F Fn om
9	6	unblem2 8213	. . . 4 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. A ) )
10	9	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> A. z e. om ( F ` z ) e. A )
11		ffnfv 6388	. . . 4 |- ( F : om --> A <-> ( F Fn om /\ A. z e. om ( F ` z ) e. A ) )
12	11	biimpri 218	. . 3 |- ( ( F Fn om /\ A. z e. om ( F ` z ) e. A ) -> F : om --> A )
13	8, 10, 12	sylancr 695	. 2 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> F : om --> A )
14	6	unblem3 8214	. . 3 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> ( z e. om -> ( F ` z ) e. ( F ` suc z ) ) )
15	14	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> A. z e. om ( F ` z ) e. ( F ` suc z ) )
16		omsmo 7734	. 2 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. z e. om ( F ` z ) e. ( F ` suc z ) ) -> F : om -1-1-> A )
17	4, 13, 15, 16	syl21anc 1325	1 |- ( ( A C_ om /\ A. w e. om E. v e. A w e. v ) -> F : om -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  unbnn  8216