Theorem omsmolem 7733

Description: Lemma for omsmo 7734. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omsmolem	|- ( y e. om -> ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   x, y, z, F

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem omsmolem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . 3 |- ( y = (/) -> ( z e. y <-> z e. (/) ) )
2		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( F ` y ) = ( F ` (/) ) )
3	2	eleq2d 2687	. . 3 |- ( y = (/) -> ( ( F ` z ) e. ( F ` y ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` (/) ) ) )
4	1, 3	imbi12d 334	. 2 |- ( y = (/) -> ( ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) <-> ( z e. (/) -> ( F ` z ) e. ( F ` (/) ) ) ) )
5		eleq2 2690	. . 3 |- ( y = w -> ( z e. y <-> z e. w ) )
6		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
7	6	eleq2d 2687	. . 3 |- ( y = w -> ( ( F ` z ) e. ( F ` y ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) )
8	5, 7	imbi12d 334	. 2 |- ( y = w -> ( ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) <-> ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) ) )
9		eleq2 2690	. . 3 |- ( y = suc w -> ( z e. y <-> z e. suc w ) )
10		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = suc w -> ( F ` y ) = ( F ` suc w ) )
11	10	eleq2d 2687	. . 3 |- ( y = suc w -> ( ( F ` z ) e. ( F ` y ) <-> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
12	9, 11	imbi12d 334	. 2 |- ( y = suc w -> ( ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) <-> ( z e. suc w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) ) )
13		noel 3919	. . . 4 |- -. z e. (/)
14	13	pm2.21i 116	. . 3 |- ( z e. (/) -> ( F ` z ) e. ( F ` (/) ) )
15	14	a1i 11	. 2 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( z e. (/) -> ( F ` z ) e. ( F ` (/) ) ) )
16		vex 3203	. . . . . 6 |- z e. _V
17	16	elsuc 5794	. . . . 5 |- ( z e. suc w <-> ( z e. w \/ z = w ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
19		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> suc x = suc w )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( F ` suc x ) = ( F ` suc w ) )
21	18, 20	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) <-> ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) ) )
22	21	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) /\ w e. om ) -> ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) )
23	22	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) -> ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) )
24		peano2b 7081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. om <-> suc w e. om )
25		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : om --> A /\ suc w e. om ) -> ( F ` suc w ) e. A )
26	24, 25	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : om --> A /\ w e. om ) -> ( F ` suc w ) e. A )
27		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ On -> ( ( F ` suc w ) e. A -> ( F ` suc w ) e. On ) )
28		ontr1 5771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` suc w ) e. On -> ( ( ( F ` z ) e. ( F ` w ) /\ ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) ) -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
29	28	expcomd 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` suc w ) e. On -> ( ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) -> ( ( F ` z ) e. ( F ` w ) -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) ) )
30	26, 27, 29	syl56 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ On -> ( ( F : om --> A /\ w e. om ) -> ( ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) -> ( ( F ` z ) e. ( F ` w ) -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) ) ) )
31	30	impl 650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ w e. om ) -> ( ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) -> ( ( F ` z ) e. ( F ` w ) -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) ) )
32	31	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) -> ( ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) -> ( ( F ` z ) e. ( F ` w ) -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) ) )
33	23, 32	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) -> ( ( F ` z ) e. ( F ` w ) -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
34	33	imim2d 57	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) -> ( ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) -> ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) ) )
35	34	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) /\ ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) ) -> ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) <-> ( F ` w ) e. ( F ` suc w ) ) )
38	22, 37	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) /\ w e. om ) -> ( z = w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
39	38	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) -> ( z = w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
40	39	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) /\ ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) ) -> ( z = w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
41	35, 40	jaod 395	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) /\ ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) ) -> ( ( z e. w \/ z = w ) -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
42	17, 41	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) /\ w e. om ) /\ ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) ) -> ( z e. suc w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) )
43	42	exp31 630	. . 3 |- ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( w e. om -> ( ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) -> ( z e. suc w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) ) ) )
44	43	com12 32	. 2 |- ( w e. om -> ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( ( z e. w -> ( F ` z ) e. ( F ` w ) ) -> ( z e. suc w -> ( F ` z ) e. ( F ` suc w ) ) ) ) )
45	4, 8, 12, 15, 44	finds2 7094	1 |- ( y e. om -> ( ( ( A C_ On /\ F : om --> A ) /\ A. x e. om ( F ` x ) e. ( F ` suc x ) ) -> ( z e. y -> ( F ` z ) e. ( F ` y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-om 7066

This theorem is referenced by:  omsmo  7734