Theorem nneob 7732

Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneob	|- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nneob

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o y ) )
2	1	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( x = y -> ( A = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o y ) ) )
3	2	cbvrexv 3172	. . 3 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om A = ( 2o .o y ) )
4		nnneo 7731	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ x e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
5	4	3com23 1271	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
6	5	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
7	6	nrexdv 3001	. . . 4 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
8	7	rexlimiva 3028	. . 3 |- ( E. y e. om A = ( 2o .o y ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
9	3, 8	sylbi 207	. 2 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
10		suceq 5790	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
11	10	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
12	11	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
13	12	notbid 308	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
14		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( y = ( 2o .o x ) <-> (/) = ( 2o .o x ) ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) )
16	13, 15	imbi12d 334	. . 3 |- ( y = (/) -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) ) )
17		suceq 5790	. . . . . . 7 |- ( y = z -> suc y = suc z )
18	17	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
19	18	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
20	19	notbid 308	. . . 4 |- ( y = z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
21		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o x ) ) )
22	21	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
23	20, 22	imbi12d 334	. . 3 |- ( y = z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) ) )
24		suceq 5790	. . . . . . 7 |- ( y = suc z -> suc y = suc suc z )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
26	25	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
27	26	notbid 308	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
28		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
29	28	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
30	27, 29	imbi12d 334	. . 3 |- ( y = suc z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
31		suceq 5790	. . . . . . 7 |- ( y = A -> suc y = suc A )
32	31	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc A = ( 2o .o x ) ) )
33	32	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( y = A -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
34	33	notbid 308	. . . 4 |- ( y = A -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
35		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( y = A -> ( y = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o x ) ) )
36	35	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
37	34, 36	imbi12d 334	. . 3 |- ( y = A -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) ) )
38		peano1 7085	. . . . 5 |- (/) e. om
39		eqid 2622	. . . . 5 |- (/) = (/)
40		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o (/) ) )
41		om0x 7599	. . . . . . . 8 |- ( 2o .o (/) ) = (/)
42	40, 41	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = (/) )
43	42	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) = ( 2o .o x ) <-> (/) = (/) ) )
44	43	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ (/) = (/) ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
45	38, 39, 44	mp2an 708	. . . 4 |- E. x e. om (/) = ( 2o .o x )
46	45	a1i 11	. . 3 |- ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
47	1	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( z = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o y ) ) )
48	47	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om z = ( 2o .o y ) )
49		peano2 7086	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
50		2onn 7720	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
51		nnmsuc 7687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
52	50, 51	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
53		df-2o 7561	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
54	53	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) +o 2o ) = ( ( 2o .o y ) +o suc 1o )
55		nnmcl 7692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o y ) e. om )
56	50, 55	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( 2o .o y ) e. om )
57		1onn 7719	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. om
58		nnasuc 7686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2o .o y ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
59	56, 57, 58	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
60	54, 59	syl5req 2669	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
61		nnon 7071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. om -> ( 2o .o y ) e. On )
62		oa1suc 7611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. On -> ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) )
63		suceq 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
64	56, 61, 62, 63	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
65	52, 60, 64	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) )
66		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o suc y ) )
67	66	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) )
68	67	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. om /\ suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
69	49, 65, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
70		suceq 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc z = suc ( 2o .o y ) )
71		suceq 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc z = suc ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
73	72	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( suc suc z = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
74	73	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
75	69, 74	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
76	75	rexlimiv 3027	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) )
77	76	a1i 11	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
78	48, 77	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
79	78	con3d 148	. . . 4 |- ( z e. om -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
80		con1 143	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
81	79, 80	syl9 77	. . 3 |- ( z e. om -> ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
82	16, 23, 30, 37, 46, 81	finds 7092	. 2 |- ( A e. om -> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
83	9, 82	impbid2 216	1 |- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   (/)c0 3915   Oncon0 5723   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +o coa 7557   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  9226