Theorem oninhaus 32449

Description: The ordinal Hausdorff spaces are 1o and 2o. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oninhaus	|- ( On i^i Haus ) = { 1o , 2o }

Proof of Theorem oninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 21156	. . . . 5 |- ( x e. Haus -> x e. Fre )
2	1	ssriv 3607	. . . 4 |- Haus C_ Fre
3		sslin 3839	. . . 4 |- ( Haus C_ Fre -> ( On i^i Haus ) C_ ( On i^i Fre ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( On i^i Haus ) C_ ( On i^i Fre )
5		onint1 32448	. . 3 |- ( On i^i Fre ) = { 1o , 2o }
6	4, 5	sseqtri 3637	. 2 |- ( On i^i Haus ) C_ { 1o , 2o }
7		ssoninhaus 32447	. 2 |- { 1o , 2o } C_ ( On i^i Haus )
8	6, 7	eqssi 3619	1 |- ( On i^i Haus ) = { 1o , 2o }

Syntax hints:   = wceq 1483   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {cpr 4179   Oncon0 5723   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Frect1 21111   Hauscha 21112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-t1 21118  df-haus 21119

This theorem is referenced by: (None)