Theorem ssoninhaus 32447

Description: The ordinal topologies 1o and 2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	|- { 1o , 2o } C_ ( On i^i Haus )

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7567	. . 3 |- 1o e. On
2		2on 7568	. . 3 |- 2o e. On
3		prssi 4353	. . 3 |- ( ( 1o e. On /\ 2o e. On ) -> { 1o , 2o } C_ On )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. 2 |- { 1o , 2o } C_ On
5		df1o2 7572	. . . . 5 |- 1o = { (/) }
6		pw0 4343	. . . . 5 |- ~P (/) = { (/) }
7	5, 6	eqtr4i 2647	. . . 4 |- 1o = ~P (/)
8		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
9		dishaus 21186	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> ~P (/) e. Haus )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- ~P (/) e. Haus
11	7, 10	eqeltri 2697	. . 3 |- 1o e. Haus
12		df2o2 7574	. . . . 5 |- 2o = { (/) , { (/) } }
13		pwpw0 4344	. . . . 5 |- ~P { (/) } = { (/) , { (/) } }
14	12, 13	eqtr4i 2647	. . . 4 |- 2o = ~P { (/) }
15		p0ex 4853	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
16		dishaus 21186	. . . . 5 |- ( { (/) } e. _V -> ~P { (/) } e. Haus )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ~P { (/) } e. Haus
18	14, 17	eqeltri 2697	. . 3 |- 2o e. Haus
19		prssi 4353	. . 3 |- ( ( 1o e. Haus /\ 2o e. Haus ) -> { 1o , 2o } C_ Haus )
20	11, 18, 19	mp2an 708	. 2 |- { 1o , 2o } C_ Haus
21	4, 20	ssini 3836	1 |- { 1o , 2o } C_ ( On i^i Haus )

Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   Oncon0 5723   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Hauscha 21112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-1o 7560  df-2o 7561  df-top 20699  df-haus 21119

This theorem is referenced by:  onint1  32448  oninhaus  32449