Theorem onint1 32448

Description: The ordinal T₁ spaces are 1o and 2o, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onint1	|- ( On i^i Fre ) = { 1o , 2o }

Proof of Theorem onint1

Dummy variables j a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . . . 5 |- ( j e. ( On i^i Fre ) <-> ( j e. On /\ j e. Fre ) )
2		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. j = U. j
3	2	ist1 21125	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Fre <-> ( j e. Top /\ A. a e. U. j { a } e. ( Clsd ` j ) ) )
4	3	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Fre -> A. a e. U. j { a } e. ( Clsd ` j ) )
5		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. On /\ ( U. j \ { (/) } ) e. j ) -> ( U. j \ { (/) } ) e. On )
6	5	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. On -> ( ( U. j \ { (/) } ) e. j -> ( U. j \ { (/) } ) e. On ) )
7		neldifsnd 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2o e. j -> -. (/) e. ( U. j \ { (/) } ) )
8		p0ex 4853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { (/) } e. _V
9	8	prid2 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
10		df2o2 7574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2o = { (/) , { (/) } }
11	9, 10	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { (/) } e. 2o
12		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { (/) } e. 2o /\ 2o e. j ) -> { (/) } e. U. j )
13	11, 12	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2o e. j -> { (/) } e. U. j )
14		df1o2 7572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1o = { (/) }
15		1on 7567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1o e. On
16	14, 15	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { (/) } e. On
17	16	onirri 5834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -. { (/) } e. { (/) }
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2o e. j -> -. { (/) } e. { (/) } )
19	13, 18	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2o e. j -> { (/) } e. ( U. j \ { (/) } ) )
20		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { (/) } e. ( U. j \ { (/) } ) -> ( U. j \ { (/) } ) =/= (/) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2o e. j -> ( U. j \ { (/) } ) =/= (/) )
22	7, 21	2thd 255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2o e. j -> ( -. (/) e. ( U. j \ { (/) } ) <-> ( U. j \ { (/) } ) =/= (/) ) )
23		nbbn 373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. (/) e. ( U. j \ { (/) } ) <-> ( U. j \ { (/) } ) =/= (/) ) <-> -. ( (/) e. ( U. j \ { (/) } ) <-> ( U. j \ { (/) } ) =/= (/) ) )
24	22, 23	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2o e. j -> -. ( (/) e. ( U. j \ { (/) } ) <-> ( U. j \ { (/) } ) =/= (/) ) )
25		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U. j \ { (/) } ) e. On -> ( (/) e. ( U. j \ { (/) } ) <-> ( U. j \ { (/) } ) =/= (/) ) )
26	24, 25	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2o e. j -> -. ( U. j \ { (/) } ) e. On )
27	6, 26	nsyli 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. On -> ( 2o e. j -> -. ( U. j \ { (/) } ) e. j ) )
28	27	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. On /\ 2o e. j ) -> -. ( U. j \ { (/) } ) e. j )
29		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. _V
30	29	prid1 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
31	30, 10	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. 2o
32		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (/) e. 2o /\ 2o e. j ) -> (/) e. U. j )
33	31, 32	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2o e. j -> (/) e. U. j )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. On /\ 2o e. j ) -> (/) e. U. j )
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( j e. On /\ 2o e. j ) /\ a = (/) ) -> a = (/) )
36	35	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( j e. On /\ 2o e. j ) /\ a = (/) ) -> { a } = { (/) } )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. On /\ 2o e. j ) /\ a = (/) ) -> ( { a } e. ( Clsd ` j ) <-> { (/) } e. ( Clsd ` j ) ) )
38	34, 37	rspcdv 3312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. On /\ 2o e. j ) -> ( A. a e. U. j { a } e. ( Clsd ` j ) -> { (/) } e. ( Clsd ` j ) ) )
39	2	cldopn 20835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { (/) } e. ( Clsd ` j ) -> ( U. j \ { (/) } ) e. j )
40	38, 39	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. On /\ 2o e. j ) -> ( A. a e. U. j { a } e. ( Clsd ` j ) -> ( U. j \ { (/) } ) e. j ) )
41	28, 40	mtod 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. On /\ 2o e. j ) -> -. A. a e. U. j { a } e. ( Clsd ` j ) )
42	41	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. On -> ( 2o e. j -> -. A. a e. U. j { a } e. ( Clsd ` j ) ) )
43	42	con2d 129	. . . . . . . . 9 |- ( j e. On -> ( A. a e. U. j { a } e. ( Clsd ` j ) -> -. 2o e. j ) )
44	4, 43	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( j e. On -> ( j e. Fre -> -. 2o e. j ) )
45		2on 7568	. . . . . . . . 9 |- 2o e. On
46		ontri1 5757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. On /\ 2o e. On ) -> ( j C_ 2o <-> -. 2o e. j ) )
47		onsssuc 5813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. On /\ 2o e. On ) -> ( j C_ 2o <-> j e. suc 2o ) )
48	46, 47	bitr3d 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. On /\ 2o e. On ) -> ( -. 2o e. j <-> j e. suc 2o ) )
49	45, 48	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( j e. On -> ( -. 2o e. j <-> j e. suc 2o ) )
50	44, 49	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( j e. On -> ( j e. Fre -> j e. suc 2o ) )
51	50	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( j e. On /\ j e. Fre ) -> j e. suc 2o )
52		0ntop 20710	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. Top
53		t1top 21134	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. Fre -> (/) e. Top )
54	52, 53	mto 188	. . . . . . . . 9 |- -. (/) e. Fre
55		nelneq 2725	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Fre /\ -. (/) e. Fre ) -> -. j = (/) )
56	54, 55	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( j e. Fre -> -. j = (/) )
57		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( j e. { (/) } -> j = (/) )
58	56, 57	nsyl 135	. . . . . . 7 |- ( j e. Fre -> -. j e. { (/) } )
59	58	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( j e. On /\ j e. Fre ) -> -. j e. { (/) } )
60	51, 59	eldifd 3585	. . . . 5 |- ( ( j e. On /\ j e. Fre ) -> j e. ( suc 2o \ { (/) } ) )
61	1, 60	sylbi 207	. . . 4 |- ( j e. ( On i^i Fre ) -> j e. ( suc 2o \ { (/) } ) )
62	61	ssriv 3607	. . 3 |- ( On i^i Fre ) C_ ( suc 2o \ { (/) } )
63		df-suc 5729	. . . . . 6 |- suc 2o = ( 2o u. { 2o } )
64	63	difeq1i 3724	. . . . 5 |- ( suc 2o \ { (/) } ) = ( ( 2o u. { 2o } ) \ { (/) } )
65		difundir 3880	. . . . 5 |- ( ( 2o u. { 2o } ) \ { (/) } ) = ( ( 2o \ { (/) } ) u. ( { 2o } \ { (/) } ) )
66	64, 65	eqtri 2644	. . . 4 |- ( suc 2o \ { (/) } ) = ( ( 2o \ { (/) } ) u. ( { 2o } \ { (/) } ) )
67		df-pr 4180	. . . . 5 |- { 1o , 2o } = ( { 1o } u. { 2o } )
68		df2o3 7573	. . . . . . . . 9 |- 2o = { (/) , 1o }
69		df-pr 4180	. . . . . . . . 9 |- { (/) , 1o } = ( { (/) } u. { 1o } )
70	68, 69	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- 2o = ( { (/) } u. { 1o } )
71	70	difeq1i 3724	. . . . . . 7 |- ( 2o \ { (/) } ) = ( ( { (/) } u. { 1o } ) \ { (/) } )
72		difundir 3880	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } u. { 1o } ) \ { (/) } ) = ( ( { (/) } \ { (/) } ) u. ( { 1o } \ { (/) } ) )
73		difid 3948	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } \ { (/) } ) = (/)
74		1n0 7575	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o =/= (/)
75		disjsn2 4247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o =/= (/) -> ( { 1o } i^i { (/) } ) = (/) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 1o } i^i { (/) } ) = (/)
77	76	difeq2i 3725	. . . . . . . . . 10 |- ( { 1o } \ ( { 1o } i^i { (/) } ) ) = ( { 1o } \ (/) )
78		difin 3861	. . . . . . . . . 10 |- ( { 1o } \ ( { 1o } i^i { (/) } ) ) = ( { 1o } \ { (/) } )
79		dif0 3950	. . . . . . . . . 10 |- ( { 1o } \ (/) ) = { 1o }
80	77, 78, 79	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . 9 |- ( { 1o } \ { (/) } ) = { 1o }
81	73, 80	uneq12i 3765	. . . . . . . 8 |- ( ( { (/) } \ { (/) } ) u. ( { 1o } \ { (/) } ) ) = ( (/) u. { 1o } )
82		uncom 3757	. . . . . . . 8 |- ( (/) u. { 1o } ) = ( { 1o } u. (/) )
83		un0 3967	. . . . . . . 8 |- ( { 1o } u. (/) ) = { 1o }
84	81, 82, 83	3eqtri 2648	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } \ { (/) } ) u. ( { 1o } \ { (/) } ) ) = { 1o }
85	71, 72, 84	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- ( 2o \ { (/) } ) = { 1o }
86		2on0 7569	. . . . . . . . 9 |- 2o =/= (/)
87		disjsn2 4247	. . . . . . . . 9 |- ( 2o =/= (/) -> ( { 2o } i^i { (/) } ) = (/) )
88	86, 87	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( { 2o } i^i { (/) } ) = (/)
89	88	difeq2i 3725	. . . . . . 7 |- ( { 2o } \ ( { 2o } i^i { (/) } ) ) = ( { 2o } \ (/) )
90		difin 3861	. . . . . . 7 |- ( { 2o } \ ( { 2o } i^i { (/) } ) ) = ( { 2o } \ { (/) } )
91		dif0 3950	. . . . . . 7 |- ( { 2o } \ (/) ) = { 2o }
92	89, 90, 91	3eqtr3i 2652	. . . . . 6 |- ( { 2o } \ { (/) } ) = { 2o }
93	85, 92	uneq12i 3765	. . . . 5 |- ( ( 2o \ { (/) } ) u. ( { 2o } \ { (/) } ) ) = ( { 1o } u. { 2o } )
94	67, 93	eqtr4i 2647	. . . 4 |- { 1o , 2o } = ( ( 2o \ { (/) } ) u. ( { 2o } \ { (/) } ) )
95	66, 94	eqtr4i 2647	. . 3 |- ( suc 2o \ { (/) } ) = { 1o , 2o }
96	62, 95	sseqtri 3637	. 2 |- ( On i^i Fre ) C_ { 1o , 2o }
97		ssoninhaus 32447	. . 3 |- { 1o , 2o } C_ ( On i^i Haus )
98		haust1 21156	. . . . 5 |- ( j e. Haus -> j e. Fre )
99	98	ssriv 3607	. . . 4 |- Haus C_ Fre
100		sslin 3839	. . . 4 |- ( Haus C_ Fre -> ( On i^i Haus ) C_ ( On i^i Fre ) )
101	99, 100	ax-mp 5	. . 3 |- ( On i^i Haus ) C_ ( On i^i Fre )
102	97, 101	sstri 3612	. 2 |- { 1o , 2o } C_ ( On i^i Fre )
103	96, 102	eqssi 3619	1 |- ( On i^i Fre ) = { 1o , 2o }

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Frect1 21111   Hauscha 21112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-t1 21118  df-haus 21119

This theorem is referenced by:  oninhaus  32449