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Theorem osumcllem9N 35250
Description: Lemma for osumclN 35253. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l |- .<_ = ( le ` K )
osumcllem.j |- .\/ = ( join ` K )
osumcllem.a |- A = ( Atoms ` K )
osumcllem.p |- .+ = ( +P ` K )
osumcllem.o |- ._|_ = ( _|_P ` K )
osumcllem.c |- C = ( PSubCl ` K )
osumcllem.m |- M = ( X .+ { p } )
osumcllem.u |- U = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
osumcllem9N |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M = X )
Proof of Theorem osumcllem9N
StepHypRef Expression
1 inass 3823 . . . . . . 7 |- ( ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) i^i M ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) )
2 simp11 1091 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> K e. HL )
3 simp13 1093 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y e. C )
4 simp21 1094 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( ._|_ ` Y ) )
5 osumcllem.l . . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` K )
6 osumcllem.j . . . . . . . . . 10 |- .\/ = ( join ` K )
7 osumcllem.a . . . . . . . . . 10 |- A = ( Atoms ` K )
8 osumcllem.p . . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +P ` K )
9 osumcllem.o . . . . . . . . . 10 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
10 osumcllem.c . . . . . . . . . 10 |- C = ( PSubCl ` K )
11 osumcllem.m . . . . . . . . . 10 |- M = ( X .+ { p } )
12 osumcllem.u . . . . . . . . . 10 |- U = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem3N 35244 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ Y e. C /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) = Y )
142, 3, 4, 13syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) = Y )
1514ineq1d 3813 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) i^i M ) = ( Y i^i M ) )
161, 15syl5eqr 2670 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) = ( Y i^i M ) )
17 simp12 1092 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X e. C )
187, 10psubclssatN 35227 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. C ) -> X C_ A )
192, 17, 18syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ A )
207, 10psubclssatN 35227 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ Y e. C ) -> Y C_ A )
212, 3, 20syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y C_ A )
22 simp22 1095 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X =/= (/) )
237, 8paddssat 35100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )
242, 19, 21, 23syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ Y ) C_ A )
257, 9polssatN 35194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A )
262, 24, 25syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A )
277, 9polssatN 35194 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ A )
282, 26, 27syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ A )
2912, 28syl5eqss 3649 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> U C_ A )
30 simp23 1096 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. U )
3129, 30sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. A )
32 simp3 1063 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> -. p e. ( X .+ Y ) )
335, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem8N 35249 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. A ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( Y i^i M ) = (/) )
342, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33syl331anc 1351 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( Y i^i M ) = (/) )
3516, 34eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) = (/) )
3635fveq2d 6195 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) = ( ._|_ ` (/) ) )
377, 9pol0N 35195 . . . . 5 |- ( K e. HL -> ( ._|_ ` (/) ) = A )
382, 37syl 17 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` (/) ) = A )
3936, 38eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) = A )
405, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem1N 35242 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ p e. U ) -> ( U i^i M ) = M )
412, 19, 21, 30, 40syl31anc 1329 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( U i^i M ) = M )
4239, 41ineq12d 3815 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = ( A i^i M ) )
437, 9, 10polsubclN 35238 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) e. C )
442, 26, 43syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) e. C )
4512, 44syl5eqel 2705 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> U e. C )
467, 8, 10paddatclN 35235 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. C /\ p e. A ) -> ( X .+ { p } ) e. C )
472, 17, 31, 46syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) e. C )
4811, 47syl5eqel 2705 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M e. C )
4910psubclinN 35234 . . . 4 |- ( ( K e. HL /\ U e. C /\ M e. C ) -> ( U i^i M ) e. C )
502, 45, 48, 49syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( U i^i M ) e. C )
515, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem2N 35243 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ p e. U ) -> X C_ ( U i^i M ) )
522, 19, 21, 30, 51syl31anc 1329 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( U i^i M ) )
5310, 9poml6N 35241 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ ( U i^i M ) e. C ) /\ X C_ ( U i^i M ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = X )
542, 17, 50, 52, 53syl31anc 1329 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = X )
5531snssd 4340 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> { p } C_ A )
567, 8paddssat 35100 . . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ { p } C_ A ) -> ( X .+ { p } ) C_ A )
572, 19, 55, 56syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) C_ A )
5811, 57syl5eqss 3649 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M C_ A )
59 sseqin2 3817 . . 3 |- ( M C_ A <-> ( A i^i M ) = M )
6058, 59sylib 208 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( A i^i M ) = M )
6142, 54, 603eqtr3rd 2665 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M = X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   lecple 15948   joincjn 16944   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   +Pcpadd 35081   _|_PcpolN 35188   PSubClcpscN 35220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-polarityN 35189  df-psubclN 35221
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  35252
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