Theorem pcoval1 22813

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the first half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	|- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
pcoval.3	|- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )

Assertion

Ref	Expression
pcoval1	|- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` X ) = ( F ` ( 2 x. X ) ) )

Proof of Theorem pcoval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
3		0le0 11110	. . . . 5 |- 0 <_ 0
4		halfre 11246	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
5		halflt1 11250	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) < 1
6	4, 2, 5	ltleii 10160	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
7		iccss 12241	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ 0 /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ ( 0 [,] 1 ) )
8	1, 2, 3, 6, 7	mp4an 709	. . . 4 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ ( 0 [,] 1 )
9	8	sseli 3599	. . 3 |- ( X e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> X e. ( 0 [,] 1 ) )
10		pcoval.2	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
11		pcoval.3	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
12	10, 11	pcovalg 22812	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` X ) = if ( X <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. X ) ) , ( G ` ( ( 2 x. X ) - 1 ) ) ) )
13	9, 12	sylan2 491	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` X ) = if ( X <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. X ) ) , ( G ` ( ( 2 x. X ) - 1 ) ) ) )
14		elii1 22734	. . . . 5 |- ( X e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( X e. ( 0 [,] 1 ) /\ X <_ ( 1 / 2 ) ) )
15	14	simprbi 480	. . . 4 |- ( X e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> X <_ ( 1 / 2 ) )
16	15	iftrued 4094	. . 3 |- ( X e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> if ( X <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. X ) ) , ( G ` ( ( 2 x. X ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. X ) ) )
17	16	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> if ( X <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. X ) ) , ( G ` ( ( 2 x. X ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. X ) ) )
18	13, 17	eqtrd 2656	1 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` X ) = ( F ` ( 2 x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   [,]cicc 12178   Cn ccn 21028   IIcii 22678   *pcpco 22800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-icc 12182  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-pco 22805

This theorem is referenced by:  pco0  22814  pcoass  22824  pcorevlem  22826