Theorem pcorevlem 22826

Description: Lemma for pcorev 22827. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcorev.1	|- G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
pcorev.2	|- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } )
pcorevlem.3	|- H = ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pcorevlem	|- ( F e. ( II Cn J ) -> ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) /\ ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P ) )

Distinct variable groups:   t, s, x, F   G, s, t   J, s, t, x   P, s, t, x

Allowed substitution hints:   G( x)   H( x, t, s)

Proof of Theorem pcorevlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . . . 5 |- G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
2		iitopon 22682	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
4		iirevcn 22729	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - x ) ) e. ( II Cn II )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - x ) ) e. ( II Cn II ) )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F e. ( II Cn J ) )
7	3, 5, 6	cnmpt11f 21467	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) ) e. ( II Cn J ) )
8	1, 7	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> G e. ( II Cn J ) )
9		1elunit 12291	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
10		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( 1 - x ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 11089	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( 1 - x ) = 0 )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` 0 ) )
14		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) e. _V
15	13, 1, 14	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
16	9, 15	mp1i 13	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
17	8, 6, 16	pcocn 22817	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
18		cntop2 21045	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. Top )
19		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
20	19	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
21	18, 20	sylib 208	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
22		iiuni 22684	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23	22, 19	cnf 21050	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
24		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
25	23, 9, 24	sylancl 694	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
26		pcorev.2	. . . . . 6 |- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } )
27	26	pcoptcl 22821	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( F ` 1 ) e. U. J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) )
28	21, 25, 27	syl2anc 693	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) )
29	28	simp1d 1073	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> P e. ( II Cn J ) )
30		pcorevlem.3	. . . 4 |- H = ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
31		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
32		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
33		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
34		dfii2 22685	. . . . . 6 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
35		0red 10041	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> 0 e. RR )
36		1red 10055	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> 1 e. RR )
37		halfre 11246	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
38		0re 10040	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
39		halfgt0 11248	. . . . . . . . 9 |- 0 < ( 1 / 2 )
40	38, 37, 39	ltleii 10160	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
41		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
42		halflt1 11250	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) < 1
43	37, 41, 42	ltleii 10160	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
44	38, 41	elicc2i 12239	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
45	37, 40, 43, 44	mpbir3an 1244	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
46	45	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
47		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> s = ( 1 / 2 ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
49		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
50		2ne0 11113	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
51	49, 50	recidi 10756	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
52	48, 51	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = 1 )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
54	53, 11	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = 0 )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - 0 ) )
56		1m0e1 11131	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 0 ) = 1
57	55, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = 1 )
58	52, 57	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
61		retopon 22567	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
62		iccssre 12255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
63	38, 37, 62	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
64		resttopon 20965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
65	61, 63, 64	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
67	66, 3	cnmpt2nd 21472	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( 1 - x ) = ( 1 - t ) )
69	66, 3, 67, 3, 5, 68	cnmpt21 21474	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
70	66, 3	cnmpt1st 21471	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> s ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
71	32	iihalf1cn 22731	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
73		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = s -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
74	66, 3, 70, 66, 72, 73	cnmpt21 21474	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. s ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
75		iimulcn 22737	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x x. y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II )
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x x. y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
77		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 1 - t ) /\ y = ( 2 x. s ) ) -> ( x x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) )
78	66, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77	cnmpt22 21477	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
79		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
80	66, 3, 78, 3, 5, 79	cnmpt21 21474	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
81		iccssre 12255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
82	37, 41, 81	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
83		resttopon 20965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
84	61, 82, 83	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
86	85, 3	cnmpt2nd 21472	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
87	85, 3, 86, 3, 5, 68	cnmpt21 21474	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
88	85, 3	cnmpt1st 21471	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> s ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
89	33	iihalf2cn 22733	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
91	73	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
92	85, 3, 88, 85, 90, 91	cnmpt21 21474	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
93		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( 2 x. s ) - 1 ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
94	85, 3, 92, 3, 5, 93	cnmpt21 21474	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
95		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 1 - t ) /\ y = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) -> ( x x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
96	85, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95	cnmpt22 21477	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
97		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
98	85, 3, 96, 3, 5, 97	cnmpt21 21474	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
99	31, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98	cnmpt2pc 22727	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
100	3, 3, 99, 6	cnmpt21f 21475	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
101	30, 100	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> H e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
102		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y e. ( 0 [,] 1 ) )
103		0elunit 12290	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
104		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> s = y )
105	104	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> t = 0 )
107	106	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
108	107, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - t ) = 1 )
109	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. y ) )
110	108, 109	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( 1 x. ( 2 x. y ) ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
112	109	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
113	112	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
114	108, 113	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
115	114	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
116	105, 111, 115	ifbieq12d 4113	. . . . . . 7 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
117	116	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
118		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. _V
119	117, 30, 118	ovmpt2a 6791	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
120	102, 103, 119	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
121		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( y <_ ( 1 / 2 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
122	121	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
123	122	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
124		elii1 22734	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) )
125	8, 6	pcoval1 22813	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( G ` ( 2 x. y ) ) )
126		iihalf1 22730	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) )
128		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 2 x. y ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( 2 x. y ) ) )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 2 x. y ) -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
130		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) e. _V
131	129, 1, 130	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
132		unitssre 12319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
133	132	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. RR )
134	133	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
135	134	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 x. ( 2 x. y ) ) = ( 2 x. y ) )
136	135	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. y ) ) )
137	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
138	131, 137	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
139	127, 138	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
140	125, 139	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
141	124, 140	sylan2br 493	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
142	141	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
143	123, 142	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
144		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. y <_ ( 1 / 2 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
145	144	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
146	145	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
147		elii2 22735	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
148	8, 6, 16	pcoval2 22816	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
149		iihalf2 22732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
151		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
152	132	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. RR )
153	152	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
154		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
155	151, 153, 154	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
156	155	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
158		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
159	151, 153, 158	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
160	157, 159	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
161	150, 160	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
162	161	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( F ` ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
163	148, 162	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
164	147, 163	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
165	164	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
166	146, 165	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
167	143, 166	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
168	120, 167	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
169	132	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. RR )
170	169	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. CC )
171		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
172	49, 170, 171	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
173	172	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
174	173	mul02d 10234	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 x. ( 2 x. y ) ) = 0 )
175	174	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
176	175, 56	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) = 1 )
177		subcl 10280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
178	173, 151, 177	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
179	151, 178, 154	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
180	179	mul02d 10234	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = 0 )
181	180	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
182	181, 56	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = 1 )
183	176, 182	ifeq12d 4106	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 1 , 1 ) )
184		ifid 4125	. . . . . 6 |- if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 1 , 1 ) = 1
185	183, 184	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = 1 )
186	185	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` 1 ) )
187		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> s = y )
188	187	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
189		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> t = 1 )
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
191	190, 11	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - t ) = 0 )
192	187	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. y ) )
193	191, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( 0 x. ( 2 x. y ) ) )
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) )
195	192	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
197	191, 196	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
198	197	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
199	188, 194, 198	ifbieq12d 4113	. . . . . . 7 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
200	199	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
201		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. _V
202	200, 30, 201	ovmpt2a 6791	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
203	102, 9, 202	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
204	26	fveq1i 6192	. . . . 5 |- ( P ` y ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y )
205		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) e. _V
206	205	fvconst2 6469	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y ) = ( F ` 1 ) )
207	206	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y ) = ( F ` 1 ) )
208	204, 207	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( P ` y ) = ( F ` 1 ) )
209	186, 203, 208	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( P ` y ) )
210		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> s = 0 )
211	210, 40	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> s <_ ( 1 / 2 ) )
212	211	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
213		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> t = y )
214	213	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - y ) )
215	210	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. 0 ) )
216		2t0e0 11183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 0 ) = 0
217	215, 216	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = 0 )
218	214, 217	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( ( 1 - y ) x. 0 ) )
219	218	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
220	212, 219	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
221	220	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
222		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) e. _V
223	221, 30, 222	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
224	103, 223	mpan 706	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
225		subcl 10280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 - y ) e. CC )
226	151, 170, 225	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - y ) e. CC )
227	226	mul01d 10235	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - y ) x. 0 ) = 0 )
228	227	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) = ( 1 - 0 ) )
229	228, 56	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) = 1 )
230	229	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) = ( F ` 1 ) )
231	224, 230	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 H y ) = ( F ` 1 ) )
232	8, 6	pco0 22814	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
233		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( 1 - x ) = ( 1 - 0 ) )
234	233, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( 1 - x ) = 1 )
235	234	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` 1 ) )
236	235, 1, 205	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
237	103, 236	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( G ` 0 ) = ( F ` 1 )
238	232, 237	syl6req 2673	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
239	231, 238	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H y ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
240	37, 41	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
241	42, 240	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
242		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> s = 1 )
243	242	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
244	241, 243	mtbiri 317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> -. s <_ ( 1 / 2 ) )
245	244	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
246		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> t = y )
247	246	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - y ) )
248	242	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. 1 ) )
249		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = 2
250	248, 249	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = 2 )
251	250	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
252		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
253	251, 252	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = 1 )
254	253	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - 1 ) )
255	254, 11	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = 0 )
256	247, 255	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( ( 1 - y ) x. 0 ) )
257	256	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
258	245, 257	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
259	258	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
260	259, 30, 222	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
261	9, 260	mpan 706	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
262	261, 230	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 H y ) = ( F ` 1 ) )
263	8, 6	pco1 22815	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
264	263	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
265	262, 264	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H y ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
266	17, 29, 101, 168, 209, 239, 265	isphtpy2d 22786	. 2 |- ( F e. ( II Cn J ) -> H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) )
267		ne0i 3921	. . . 4 |- ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) )
268	266, 267	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) )
269		isphtpc 22793	. . 3 |- ( ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P <-> ( ( G ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) /\ P e. ( II Cn J ) /\ ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) ) )
270	17, 29, 268, 269	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P )
271	266, 270	jca 554	1 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) /\ ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   IIcii 22678   PHtpycphtpy 22767   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805

This theorem is referenced by:  pcorev  22827